Intervalles et encadrements
Inéquations du premier degré
Intervalles et encadrements
Les intervalles de $\mathbb{R}$
Un intervalle est un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ « sans trou » : il contient tous les réels compris entre deux bornes.
Notation et types d'intervalles
Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a < b$ :
| Notation | Ensemble | Description |
|---|---|---|
| $$a + c \leq x + y \leq b + d$$0 | $$a + c \leq x + y \leq b + d$$1 | Intervalle fermé |
| $$a + c \leq x + y \leq b + d$$2 | $$a + c \leq x + y \leq b + d$$3 | Intervalle ouvert |
| $$a + c \leq x + y \leq b + d$$4 | $$a + c \leq x + y \leq b + d$$5 | Fermé à gauche, ouvert à droite |
| $$a + c \leq x + y \leq b + d$$6 | $$a + c \leq x + y \leq b + d$$7 | Ouvert à gauche, fermé à droite |
| $$a + c \leq x + y \leq b + d$$8 | $$a + c \leq x + y \leq b + d$$9 | Demi-droite fermée |
| $$a - d \leq x - y \leq b - c$$0 | $$a - d \leq x - y \leq b - c$$1 | Demi-droite ouverte |
| $$a - d \leq x - y \leq b - c$$2 | $$a - d \leq x - y \leq b - c$$3 | Demi-droite fermée |
| $$a - d \leq x - y \leq b - c$$4 | $$a - d \leq x - y \leq b - c$$5 | Demi-droite ouverte |
| $$a - d \leq x - y \leq b - c$$6 | $$a - d \leq x - y \leq b - c$$7 | La droite réelle entière |
Remarques :
- $$a - d \leq x - y \leq b - c$$8 et $$a - d \leq x - y \leq b - c$$9 ne sont pas des nombres réels ; le crochet est toujours ouvert de leur côté.
- Un crochet fermé $$2 + (-1) \leq x + y \leq 5 + 3 \implies 1 \leq x + y \leq 8$$0 ou $$2 + (-1) \leq x + y \leq 5 + 3 \implies 1 \leq x + y \leq 8$$1 signifie que la borne est incluse.
- Un crochet ouvert $$2 + (-1) \leq x + y \leq 5 + 3 \implies 1 \leq x + y \leq 8$$2 ou $$2 + (-1) \leq x + y \leq 5 + 3 \implies 1 \leq x + y \leq 8$$3 signifie que la borne est exclue.
Intersection et réunion d'intervalles
Intersection : $$2 + (-1) \leq x + y \leq 5 + 3 \implies 1 \leq x + y \leq 8$$4
L'intersection de deux ensembles est l'ensemble des éléments qui appartiennent aux deux ensembles.
Exemple : $$2 + (-1) \leq x + y \leq 5 + 3 \implies 1 \leq x + y \leq 8$$5
Si deux intervalles ne se chevauchent pas, leur intersection est vide :
$$2 + (-1) \leq x + y \leq 5 + 3 \implies 1 \leq x + y \leq 8$$6
Réunion : $$2 + (-1) \leq x + y \leq 5 + 3 \implies 1 \leq x + y \leq 8$$7
La réunion de deux ensembles est l'ensemble des éléments qui appartiennent à l'un ou l'autre (ou aux deux).
Exemple : $$2 + (-1) \leq x + y \leq 5 + 3 \implies 1 \leq x + y \leq 8$$8 représente tous les réels sauf ceux de $$2 + (-1) \leq x + y \leq 5 + 3 \implies 1 \leq x + y \leq 8$$9.
Encadrements
Définition
Un encadrement d'un nombre $$2 - 3 \leq x - y \leq 5 - (-1) \implies -1 \leq x - y \leq 6$$0 est une double inégalité :
$$a \leq x \leq b$$
On dit que $$2 - 3 \leq x - y \leq 5 - (-1) \implies -1 \leq x - y \leq 6$$1 est encadré entre $$2 - 3 \leq x - y \leq 5 - (-1) \implies -1 \leq x - y \leq 6$$2 et $$2 - 3 \leq x - y \leq 5 - (-1) \implies -1 \leq x - y \leq 6$$3 ; l'amplitude (ou précision) de cet encadrement est $$2 - 3 \leq x - y \leq 5 - (-1) \implies -1 \leq x - y \leq 6$$4.
Exemple : $$2 - 3 \leq x - y \leq 5 - (-1) \implies -1 \leq x - y \leq 6$$5 est un encadrement de $$2 - 3 \leq x - y \leq 5 - (-1) \implies -1 \leq x - y \leq 6$$6 d'amplitude $$2 - 3 \leq x - y \leq 5 - (-1) \implies -1 \leq x - y \leq 6$$7.
Opérations sur les encadrements
Si $$2 - 3 \leq x - y \leq 5 - (-1) \implies -1 \leq x - y \leq 6$$8 et $$2 - 3 \leq x - y \leq 5 - (-1) \implies -1 \leq x - y \leq 6$$9 :
Addition :
$$a + c \leq x + y \leq b + d$$
Soustraction :
$$a - d \leq x - y \leq b - c$$
⚠️ On « croise » les bornes pour la soustraction.
Multiplication par un scalaire :
Si $\mathbb{R}$0 : $\mathbb{R}$1
Si $\mathbb{R}$2 : $\mathbb{R}$3 (on inverse !)
Exemple
Sachant que $\mathbb{R}$4 et $\mathbb{R}$5, encadrer $\mathbb{R}$6 et $\mathbb{R}$7 :
$$2 + (-1) \leq x + y \leq 5 + 3 \implies 1 \leq x + y \leq 8$$
$$2 - 3 \leq x - y \leq 5 - (-1) \implies -1 \leq x - y \leq 6$$
Valeur approchée
Une valeur approchée d'un nombre $\mathbb{R}$8 est un nombre « proche » de $\mathbb{R}$9.
- Par défaut (troncature) : on arrondit vers le bas → $\mathbb{R}$0 pour $\mathbb{R}$1 au millième.
- Par excès : on arrondit vers le haut → $\mathbb{R}$2 pour $\mathbb{R}$3 au millième.
Précision : la valeur approchée $\mathbb{R}$4 est à $\mathbb{R}$5 près si $\mathbb{R}$6.
À retenir
- Un intervalle est une partie de $\mathbb{R}$7 sans trou, défini par ses bornes et le type de crochet (ouvert/fermé).
- L'intersection ($\mathbb{R}$8) est le « et » : les éléments communs. La réunion ($\mathbb{R}$9) est le « ou ».
- Un encadrement $a$0 signifie que $a$1.
- On peut additionner et soustraire des encadrements en respectant les règles sur les bornes.