Théorèmes sur les triangles (milieux, médiatrices)
Géométrie dans le plan
Théorèmes sur les triangles (milieux, médiatrices)
Introduction
La géométrie euclidienne étudie les figures du plan à l'aide de propriétés métriques (distances, angles). En classe de Seconde, on approfondit les résultats fondamentaux sur les triangles : théorème des milieux, droites remarquables et leurs points de concours.
Théorème des milieux
Énoncé (théorème direct)
Dans un triangle $ABC$, si $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ le milieu de $[AC]$, alors :
- $$AG = \frac{2}{3} \, AA' \qquad \text{où } A' \text{ est le milieu de } [BC]$$0
- $$AG = \frac{2}{3} \, AA' \qquad \text{où } A' \text{ est le milieu de } [BC]$$1
Le segment joignant les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté et mesure la moitié de sa longueur.
Exemple
Dans le triangle $$AG = \frac{2}{3} \, AA' \qquad \text{où } A' \text{ est le milieu de } [BC]$$2, on donne $$AG = \frac{2}{3} \, AA' \qquad \text{où } A' \text{ est le milieu de } [BC]$$3 cm. Si $$AG = \frac{2}{3} \, AA' \qquad \text{où } A' \text{ est le milieu de } [BC]$$4 est le milieu de $$AG = \frac{2}{3} \, AA' \qquad \text{où } A' \text{ est le milieu de } [BC]$$5 et $$AG = \frac{2}{3} \, AA' \qquad \text{où } A' \text{ est le milieu de } [BC]$$6 le milieu de $$AG = \frac{2}{3} \, AA' \qquad \text{où } A' \text{ est le milieu de } [BC]$$7, alors :
$$MN = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm} \qquad \text{et} \qquad (MN) \parallel (BC)$$
Réciproque
Dans un triangle $$AG = \frac{2}{3} \, AA' \qquad \text{où } A' \text{ est le milieu de } [BC]$$8, si $$AG = \frac{2}{3} \, AA' \qquad \text{où } A' \text{ est le milieu de } [BC]$$9 est le milieu de $$G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3} \; ; \; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$$0 et si la droite passant par $$G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3} \; ; \; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$$1 parallèle à $$G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3} \; ; \; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$$2 coupe $$G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3} \; ; \; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$$3 en $$G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3} \; ; \; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$$4, alors $$G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3} \; ; \; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$$5 est le milieu de $$G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3} \; ; \; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$$6.
Cette réciproque est très utile pour démontrer qu'un point est un milieu.
Droites remarquables d'un triangle
Un triangle $$G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3} \; ; \; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$$7 possède quatre familles de droites remarquables. Chacune fournit un point de concours (les trois droites de même nature se coupent en un seul point).
Médianes et centre de gravité
La médiane issue d'un sommet est le segment reliant ce sommet au milieu du côté opposé.
Les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point $$G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3} \; ; \; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$$8 appelé centre de gravité.
Propriété fondamentale : le centre de gravité $$G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3} \; ; \; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$$9 divise chaque médiane dans le rapport $$OA = OB = OC = R \qquad (\text{rayon du cercle circonscrit})$$0 depuis le sommet :
$$AG = \frac{2}{3} \, AA' \qquad \text{où } A' \text{ est le milieu de } [BC]$$
En physique, $$OA = OB = OC = R \qquad (\text{rayon du cercle circonscrit})$$1 est le point d'équilibre du triangle (si on le découpe dans un matériau homogène).
Coordonnées du centre de gravité
Si $$OA = OB = OC = R \qquad (\text{rayon du cercle circonscrit})$$2, $$OA = OB = OC = R \qquad (\text{rayon du cercle circonscrit})$$3, $$OA = OB = OC = R \qquad (\text{rayon du cercle circonscrit})$$4, alors :
$$G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3} \; ; \; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$$
Médiatrices et cercle circonscrit
La médiatrice d'un segment $$OA = OB = OC = R \qquad (\text{rayon du cercle circonscrit})$$5 est la droite perpendiculaire à $$OA = OB = OC = R \qquad (\text{rayon du cercle circonscrit})$$6 passant par son milieu.
Propriété caractéristique : un point $$OA = OB = OC = R \qquad (\text{rayon du cercle circonscrit})$$7 appartient à la médiatrice de $$OA = OB = OC = R \qquad (\text{rayon du cercle circonscrit})$$8 si et seulement si $$OA = OB = OC = R \qquad (\text{rayon du cercle circonscrit})$$9.
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$0 appelé centre du cercle circonscrit. Ce cercle passe par les trois sommets du triangle.
$$OA = OB = OC = R \qquad (\text{rayon du cercle circonscrit})$$
Hauteurs et orthocentre
La hauteur issue d'un sommet est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé.
Les trois hauteurs sont concourantes en un point $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$1 appelé orthocentre.
- Triangle acutangle (tous les angles aigus) : $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$2 est à l'intérieur du triangle.
- Triangle rectangle en $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$3 : $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$4 (le sommet de l'angle droit).
- Triangle obtusangle : $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$5 est à l'extérieur du triangle.
Bissectrices et cercle inscrit
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles égaux.
Les trois bissectrices intérieures sont concourantes en un point $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$6 appelé centre du cercle inscrit. Ce cercle est tangent aux trois côtés du triangle.
Droite d'Euler
Dans tout triangle non équilatéral, le centre de gravité $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$7, l'orthocentre $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$8 et le centre du cercle circonscrit $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$9 sont alignés sur une droite appelée droite d'Euler.
De plus : $ABC$0, c'est-à-dire que $ABC$1 divise $ABC$2 dans le rapport $ABC$3 depuis $ABC$4.
Théorème de Pythagore et sa réciproque
Théorème direct
Dans un triangle $ABC$5 rectangle en $ABC$6 :
$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit et c'est le plus grand côté.
Exemple
Si $ABC$7 et $ABC$8 : $ABC$9, donc $M$0.
Réciproque
Si dans un triangle $M$1 on a $M$2, alors le triangle est rectangle en $M$3.
Contraposée
Si $M$4, alors le triangle $M$5 n'est pas rectangle en $M$6.
Résumé des points de concours
| Droites | Point de concours | Propriété |
|---|---|---|
| Médianes | Centre de gravité $M$7 | Divise chaque médiane en $M$8 – $M$9 |
| Médiatrices | Centre du cercle circonscrit $[AB]$0 | $[AB]$1 |
| Hauteurs | Orthocentre $[AB]$2 | — |
| Bissectrices | Centre du cercle inscrit $[AB]$3 | Équidistant des trois côtés |
À retenir
- Théorème des milieux : le segment des milieux est parallèle au 3ᵉ côté et vaut sa moitié.
- Un triangle possède 4 familles de droites remarquables, chacune avec un point de concours.
- Le centre de gravité $[AB]$4 a pour coordonnées la moyenne des coordonnées des sommets.
- Le cercle circonscrit passe par les 3 sommets ; le cercle inscrit est tangent aux 3 côtés.
- Pythagore : $[AB]$5 ⟺ triangle rectangle en $[AB]$6.