Quadrilatères et configurations remarquables
Géométrie dans le plan
Quadrilatères et configurations remarquables
Introduction
Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés. Parmi les quadrilatères, certains possèdent des propriétés remarquables qui les rendent particulièrement utiles en géométrie. Ce cours étudie la hiérarchie des quadrilatères particuliers et leurs propriétés caractéristiques.
Le parallélogramme
Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
$ABCD$ est un parallélogramme ⟺ $(AB) \parallel (DC)$ et $(AD) \parallel (BC)$.
Propriétés
Un parallélogramme $ABCD$ vérifie :
- Les côtés opposés sont de même longueur : $AB = DC$ et $AD = BC$.
- Les angles opposés sont égaux : $$\text{Carré} \subset \text{Losange} \subset \text{Parallélogramme}$$0 et $$\text{Carré} \subset \text{Losange} \subset \text{Parallélogramme}$$1.
- Les angles consécutifs sont supplémentaires : $$\text{Carré} \subset \text{Losange} \subset \text{Parallélogramme}$$2.
- Les diagonales se coupent en leur milieu : si $$\text{Carré} \subset \text{Losange} \subset \text{Parallélogramme}$$3, alors $$\text{Carré} \subset \text{Losange} \subset \text{Parallélogramme}$$4 et $$\text{Carré} \subset \text{Losange} \subset \text{Parallélogramme}$$5.
Caractérisations (pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme)
Un quadrilatère $$\text{Carré} \subset \text{Losange} \subset \text{Parallélogramme}$$6 est un parallélogramme si et seulement si l'une des conditions suivantes est vérifiée :
- Les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
- Les côtés opposés sont de même longueur deux à deux.
- Deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
- Les diagonales se coupent en leur milieu.
- Les angles opposés sont égaux.
Le rectangle
Définition
Un rectangle est un parallélogramme ayant un angle droit.
Comme les angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires, si l'un vaut 90°, les quatre valent 90°.
Propriétés
En plus des propriétés du parallélogramme, le rectangle vérifie :
- Les quatre angles sont droits (90°).
- Les diagonales sont de même longueur : $$\text{Carré} \subset \text{Losange} \subset \text{Parallélogramme}$$7.
Caractérisations
Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si :
- Il a un angle droit, ou
- Ses diagonales sont de même longueur.
Un quadrilatère ayant ses quatre angles droits est un rectangle.
Le losange
Définition
Un losange est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs égaux.
Comme les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux, les quatre côtés d'un losange sont de même longueur.
Propriétés
En plus des propriétés du parallélogramme, le losange vérifie :
- Les quatre côtés sont de même longueur.
- Les diagonales sont perpendiculaires : $$\text{Carré} \subset \text{Losange} \subset \text{Parallélogramme}$$8.
- Chaque diagonale est bissectrice des angles qu'elle joint.
Caractérisations
Un parallélogramme est un losange si et seulement si :
- II a deux côtés consécutifs égaux, ou
- Ses diagonales sont perpendiculaires.
Le carré
Définition
Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange.
Propriétés
Le carré cumule toutes les propriétés :
- Quatre côtés égaux et quatre angles droits.
- Diagonales de même longueur, perpendiculaires, se coupant en leur milieu.
- Chaque diagonale est bissectrice des angles qu'elle joint.
Caractérisations
Un parallélogramme est un carré si :
- C'est un rectangle avec deux côtés consécutifs égaux, ou
- C'est un losange avec un angle droit, ou
- Ses diagonales sont égales et perpendiculaires.
Hiérarchie des quadrilatères
$$\text{Carré} \subset \text{Rectangle} \subset \text{Parallélogramme} \subset \text{Quadrilatère}$$
$$\text{Carré} \subset \text{Losange} \subset \text{Parallélogramme}$$
Tout carré est un rectangle (et un losange), tout rectangle est un parallélogramme, mais les réciproques sont fausses en général.
Le trapèze
Définition
Un trapèze est un quadrilatère ayant (au moins) deux côtés parallèles, appelés les bases. Les deux autres côtés sont les côtés non parallèles (ou « jambes »).
Cas particuliers
- Trapèze isocèle : les côtés non parallèles sont de même longueur. Ses diagonales sont aussi de même longueur.
- Trapèze rectangle : un des côtés non parallèles est perpendiculaire aux bases.
Configurations remarquables dans les problèmes
Milieux et parallélisme
Théorème de la droite des milieux (cas du trapèze) : dans un trapèze $$\text{Carré} \subset \text{Losange} \subset \text{Parallélogramme}$$9 de bases $$EF = \frac{AB + DC}{2}$$0 et $$EF = \frac{AB + DC}{2}$$1, le segment joignant les milieux des côtés non parallèles est parallèle aux bases et sa longueur vaut la demi-somme des bases :
$$EF = \frac{AB + DC}{2}$$
Vecteurs et parallélogramme
On peut démontrer qu'un quadrilatère $$EF = \frac{AB + DC}{2}$$2 est un parallélogramme en utilisant les vecteurs :
$$ABCD \text{ est un parallélogramme} \Longleftrightarrow \vec{AB} = \vec{DC}$$
Ce critère vectoriel est souvent le plus rapide en géométrie analytique.
Symétrie centrale
Un parallélogramme admet un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales. Un rectangle et un losange aussi. Le carré admet en plus quatre axes de symétrie.
| Figure | Centre de symétrie | Axes de symétrie |
|---|---|---|
| Parallélogramme | Oui (intersection diag.) | 0 (en général) |
| Rectangle | Oui | 2 (médiatrices des côtés) |
| Losange | Oui | 2 (les diagonales) |
| Carré | Oui | 4 (diagonales + médiatrices) |
À retenir
- Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles et égaux ; ses diagonales se coupent en leur milieu.
- Un rectangle = parallélogramme + angle droit → diagonales de même longueur.
- Un losange = parallélogramme + côtés tous égaux → diagonales perpendiculaires.
- Un carré = rectangle + losange → diagonales égales, perpendiculaires, se coupant en leur milieu.
- Pour prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme, on peut utiliser le critère vectoriel $$EF = \frac{AB + DC}{2}$$3.