Notion de fonction — image, antécédent, domaine

Qu'est-ce qu'une fonction ?

Une fonction $f$ est un procédé qui, à chaque nombre $x$ d'un ensemble de départ, associe un unique nombre noté $f(x)$.

On écrit :

$$f : x \longmapsto f(x)$$

On lit : « $f$ est la fonction qui à $x$ associe $f(x)$ ».

Exemple : $f : x \longmapsto 2x + 3$. Alors $f(1) = 5$, $f(0) = 3$, $f(-2) = -1$.

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Vocabulaire fondamental

Image

L'image de $a$ par la fonction $f$ est le nombre $f(a)$.

Pour la calculer, on remplace $x$ par $a$ dans l'expression de $f(x)$.

Exemple : Si $f(x) = x^2 - 4x + 1$, l'image de $3$ est :
$f(3) = 3^2 - 4 \times 3 + 1 = 9 - 12 + 1 = -2$

Antécédent

Un antécédent de $b$ par la fonction $f$ est un nombre $a$ tel que $f(a) = b$.

Pour le trouver, on résout l'équation $f(x) = b$.

Exemple : Si $f(x) = 2x + 3$, cherchons les antécédents de 9 :
$2x + 3 = 9 \iff 2x = 6 \iff x = 3$.
Le nombre $3$ est l'antécédent de $9$ par $f$.

⚠️ Un nombre peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.

Domaine de définition

Le domaine de définition $D_f$ de $f$ est l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est définie.

Exemples de restrictions :
- $f(x) = \frac{1}{x-2}$ : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ (dénominateur ≠ 0)
- $g(x) = \sqrt{x}$ : $D_g = [0 \,;\, +\infty[$ (radicande ≥ 0)

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Courbe représentative

Définition

La courbe représentative (ou représentation graphique) de $f$ est l'ensemble des points $M(x \,;\, y)$ du plan tels que $y = f(x)$.

On la note $\mathcal{C}_f$.

Lecture graphique

Sur la courbe $\mathcal{C}_f$ :
- L'image de $a$ par $f$ est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $a$.
- Les antécédents de $b$ par $f$ sont les abscisses des points de la courbe d'ordonnée $b$.

Méthode : Pour trouver l'image de $a$, on trace la droite verticale $x = a$ ; elle coupe $\mathcal{C}_f$ en un point dont l'ordonnée est $f(a)$.
Pour trouver les antécédents de $b$, on trace la droite horizontale $y = b$ ; ses intersections avec $\mathcal{C}_f$ donnent les antécédents.

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Tableau de variation

Le tableau de variation résume le comportement d'une fonction sur son domaine.

Fonction croissante

$f$ est croissante sur un intervalle $I$ si, pour tous $a, b \in I$ :

$$a < b \implies f(a) < f(b)$$

Plus $x$ augmente, plus $f(x)$ augmente → la courbe « monte ».

Fonction décroissante

$f$ est décroissante sur un intervalle $I$ si, pour tous $a, b \in I$ :

$$a < b \implies f(a) > f(b)$$

Plus $x$ augmente, plus $f(x)$ diminue → la courbe « descend ».

Maximum et minimum

• $f$ admet un maximum $M$ sur $I$ si $f(x) \leq M$ pour tout $x \in I$, et $M$ est atteint.
• $f$ admet un minimum $m$ sur $I$ si $f(x) \geq m$ pour tout $x \in I$, et $m$ est atteint.

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Résolution graphique d'équations et inéquations

Équation $f(x) = k$

On trace la droite horizontale $y = k$ et on lit les abscisses des points d'intersection avec $\mathcal{C}_f$.

Inéquation $f(x) \leq k$

Les solutions sont les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe est en dessous de la droite $y = k$ (ou sur la droite).

Inéquation $f(x) \geq g(x)$

Les solutions sont les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$.

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À retenir

• Une fonction associe à chaque $x$ une unique image $f(x)$.
• L'image se calcule (on substitue $x$) ; l'antécédent se trouve en résolvant $f(x) = b$.
• La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est l'ensemble des points $(x, f(x))$.
• Le tableau de variation indique les intervalles de croissance et de décroissance.