Notion de fonction — image, antécédent, domaine

Qu'est-ce qu'une fonction ?

Une fonction $f$ est un procédé qui, à chaque nombre $x$ d'un ensemble de départ, associe un unique nombre noté $f(x)$.

On écrit :

$$f : x \longmapsto f(x)$$

On lit : « $f$ est la fonction qui à $x$ associe $f(x)$ ».

Exemple : $f : x \longmapsto 2x + 3$. Alors $$a < b \implies f(a) < f(b)$$0, $$a < b \implies f(a) < f(b)$$1, $$a < b \implies f(a) < f(b)$$2.

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Vocabulaire fondamental

Image

L'image de $$a < b \implies f(a) < f(b)$$3 par la fonction $$a < b \implies f(a) < f(b)$$4 est le nombre $$a < b \implies f(a) < f(b)$$5.

Pour la calculer, on remplace $$a < b \implies f(a) < f(b)$$6 par $$a < b \implies f(a) < f(b)$$7 dans l'expression de $$a < b \implies f(a) < f(b)$$8.

Exemple : Si $$a < b \implies f(a) < f(b)$$9, l'image de $$a < b \implies f(a) > f(b)$$0 est :
$$a < b \implies f(a) > f(b)$$1

Antécédent

Un antécédent de $$a < b \implies f(a) > f(b)$$2 par la fonction $$a < b \implies f(a) > f(b)$$3 est un nombre $$a < b \implies f(a) > f(b)$$4 tel que $$a < b \implies f(a) > f(b)$$5.

Pour le trouver, on résout l'équation $$a < b \implies f(a) > f(b)$$6.

Exemple : Si $$a < b \implies f(a) > f(b)$$7, cherchons les antécédents de 9 :
$$a < b \implies f(a) > f(b)$$8.
Le nombre $$a < b \implies f(a) > f(b)$$9 est l'antécédent de $f$0 par $f$1.

⚠️ Un nombre peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.

Domaine de définition

Le domaine de définition $f$2 de $f$3 est l'ensemble des valeurs de $f$4 pour lesquelles $f$5 est définie.

Exemples de restrictions :
- $f$6 : $f$7 (dénominateur ≠ 0)
- $f$8 : $f$9 (radicande ≥ 0)

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Courbe représentative

Définition

La courbe représentative (ou représentation graphique) de $x$0 est l'ensemble des points $x$1 du plan tels que $x$2.

On la note $x$3.

Lecture graphique

Sur la courbe $x$4 :
- L'image de $x$5 par $x$6 est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $x$7.
- Les antécédents de $x$8 par $x$9 sont les abscisses des points de la courbe d'ordonnée $f(x)$0.

Méthode : Pour trouver l'image de $f(x)$1, on trace la droite verticale $f(x)$2 ; elle coupe $f(x)$3 en un point dont l'ordonnée est $f(x)$4.
Pour trouver les antécédents de $f(x)$5, on trace la droite horizontale $f(x)$6 ; ses intersections avec $f(x)$7 donnent les antécédents.

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Tableau de variation

Le tableau de variation résume le comportement d'une fonction sur son domaine.

Fonction croissante

$f(x)$8 est croissante sur un intervalle $f(x)$9 si, pour tous $f$0 :

$$a < b \implies f(a) < f(b)$$

Plus $f$1 augmente, plus $f$2 augmente → la courbe « monte ».

Fonction décroissante

$f$3 est décroissante sur un intervalle $f$4 si, pour tous $f$5 :

$$a < b \implies f(a) > f(b)$$

Plus $f$6 augmente, plus $f$7 diminue → la courbe « descend ».

Maximum et minimum

• $f$8 admet un maximum $f$9 sur $x$0 si $x$1 pour tout $x$2, et $x$3 est atteint.
• $x$4 admet un minimum $x$5 sur $x$6 si $x$7 pour tout $x$8, et $x$9 est atteint.

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Résolution graphique d'équations et inéquations

Équation $f(x)$0

On trace la droite horizontale $f(x)$1 et on lit les abscisses des points d'intersection avec $f(x)$2.

Inéquation $f(x)$3

Les solutions sont les valeurs de $f(x)$4 pour lesquelles la courbe est en dessous de la droite $f(x)$5 (ou sur la droite).

Inéquation $f(x)$6

Les solutions sont les valeurs de $f(x)$7 pour lesquelles la courbe de $f(x)$8 est au-dessus de celle de $f(x)$9.

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À retenir

• Une fonction associe à chaque $f : x \longmapsto 2x + 3$0 une unique image $f : x \longmapsto 2x + 3$1.
• L'image se calcule (on substitue $f : x \longmapsto 2x + 3$2) ; l'antécédent se trouve en résolvant $f : x \longmapsto 2x + 3$3.
• La courbe représentative $f : x \longmapsto 2x + 3$4 est l'ensemble des points $f : x \longmapsto 2x + 3$5.
• Le tableau de variation indique les intervalles de croissance et de décroissance.