Fonctions affines $f(x) = ax + b$

Définition

Une fonction affine est une fonction de la forme :

$$f(x) = ax + b$$

où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles.

• $a$ est le coefficient directeur (ou pente).
• $b$ est l'ordonnée à l'origine (la valeur de $f(0)$).

Cas particuliers

Condition	Type de fonction	Représentation graphique
$b = 0$	Fonction linéaire $f(x) = ax$	Droite passant par l'origine
$a = 0$	Fonction constante $f(x) = b$	Droite horizontale

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Représentation graphique

La courbe représentative d'une fonction affine est une droite.

Tracer la droite

Méthode : deux points suffisent pour tracer une droite.

Pour $f(x) = 2x - 3$ :
- $f(0) = -3$ → le point $(0 \,;\, -3)$
- $f(2) = 1$ → le point $(2 \,;\, 1)$

On place ces deux points et on trace la droite qui les relie.

Lire l'ordonnée à l'origine

$b = f(0)$ est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées (l'axe vertical).

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Le coefficient directeur (pente)

Définition

Le coefficient directeur (ou pente) mesure l'inclinaison de la droite. On le calcule à partir de deux points $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ de la droite :

$$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Interprétation

• Si $a > 0$ : la droite monte (de gauche à droite) → $f$ est croissante.
• Si $a < 0$ : la droite descend → $f$ est décroissante.
• Si $a = 0$ : la droite est horizontale → $f$ est constante.

Interprétation concrète : $a$ représente la variation de $f(x)$ quand $x$ augmente de 1. Si $a = 3$, alors quand $x$ augmente de 1, $f(x)$ augmente de 3.

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Taux de variation

Le taux de variation de $f$ entre $x_1$ et $x_2$ est :

$$\tau = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$$

Pour une fonction affine $f(x) = ax + b$, le taux de variation est constant et égal à $a$, quel que soit le choix de $x_1$ et $x_2$.

Propriété caractéristique : « $f$ est affine $\iff$ son taux de variation est constant. »

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Variations

Coefficient directeur	Sens de variation	Tableau
$a > 0$	Croissante sur $\mathbb{R}$	Flèche montante $\nearrow$
$a < 0$	Décroissante sur $\mathbb{R}$	Flèche descendante $\searrow$
$a = 0$	Constante sur $\mathbb{R}$	Flèche horizontale $\rightarrow$

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Déterminer une fonction affine

Connaissant la pente et un point

Si la pente est $a$ et la droite passe par $(x_0, y_0)$ :

$$f(x) = a(x - x_0) + y_0$$

Exemple : pente $a = -2$, passant par $(1, 5)$ :
$f(x) = -2(x - 1) + 5 = -2x + 2 + 5 = -2x + 7$

Connaissant deux points

On calcule d'abord la pente $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, puis on utilise un des points.

Exemple : Points $(2, 3)$ et $(5, 9)$ :
$a = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$

$f(x) = 2(x - 2) + 3 = 2x - 1$

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Signe d'une fonction affine

Pour $f(x) = ax + b$ avec $a \neq 0$ :

• Racine : $f(x) = 0 \iff x = -\frac{b}{a}$
• Si $a > 0$ : $f(x) < 0$ pour $x < -\frac{b}{a}$ et $f(x) > 0$ pour $x > -\frac{b}{a}$
• Si $a < 0$ : $f(x) > 0$ pour $x < -\frac{b}{a}$ et $f(x) < 0$ pour $x > -\frac{b}{a}$

Règle mnémotechnique : le signe de $f(x)$ est celui de $a$ « à droite » de la racine.

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À retenir

• $f(x) = ax + b$ : $a$ est la pente, $b$ l'ordonnée à l'origine.
• La représentation graphique est une droite.
• $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ (pente entre deux points).
• $a > 0$ → croissante ; $a < 0$ → décroissante ; $a = 0$ → constante.
• Le taux de variation d'une fonction affine est constant et égal à $a$.