Fonctions affines $f(x) = ax + b$

Définition

Une fonction affine est une fonction de la forme :

$$f(x) = ax + b$$

où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles.

• $a$ est le coefficient directeur (ou pente).
• $b$ est l'ordonnée à l'origine (la valeur de $f(0)$).

Cas particuliers

Condition	Type de fonction	Représentation graphique
$$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$0	Fonction linéaire $$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$1	Droite passant par l'origine
$$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$2	Fonction constante $$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$3	Droite horizontale

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Représentation graphique

La courbe représentative d'une fonction affine est une droite.

Tracer la droite

Méthode : deux points suffisent pour tracer une droite.

Pour $$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$4 :
- $$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$5 → le point $$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$6
- $$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$7 → le point $$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$8

On place ces deux points et on trace la droite qui les relie.

Lire l'ordonnée à l'origine

$$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$9 est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées (l'axe vertical).

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Le coefficient directeur (pente)

Définition

Le coefficient directeur (ou pente) mesure l'inclinaison de la droite. On le calcule à partir de deux points $$\tau = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$$0 et $$\tau = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$$1 de la droite :

$$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Interprétation

• Si $$\tau = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$$2 : la droite monte (de gauche à droite) → $$\tau = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$$3 est croissante.
• Si $$\tau = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$$4 : la droite descend → $$\tau = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$$5 est décroissante.
• Si $$\tau = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$$6 : la droite est horizontale → $$\tau = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$$7 est constante.

Interprétation concrète : $$\tau = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$$8 représente la variation de $$\tau = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$$9 quand $$f(x) = a(x - x_0) + y_0$$0 augmente de 1. Si $$f(x) = a(x - x_0) + y_0$$1, alors quand $$f(x) = a(x - x_0) + y_0$$2 augmente de 1, $$f(x) = a(x - x_0) + y_0$$3 augmente de 3.

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Taux de variation

Le taux de variation de $$f(x) = a(x - x_0) + y_0$$4 entre $$f(x) = a(x - x_0) + y_0$$5 et $$f(x) = a(x - x_0) + y_0$$6 est :

$$\tau = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$$

Pour une fonction affine $$f(x) = a(x - x_0) + y_0$$7, le taux de variation est constant et égal à $$f(x) = a(x - x_0) + y_0$$8, quel que soit le choix de $$f(x) = a(x - x_0) + y_0$$9 et $f(x) = ax + b$0.

Propriété caractéristique : « $f(x) = ax + b$1 est affine $f(x) = ax + b$2 son taux de variation est constant. »

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Variations

Coefficient directeur	Sens de variation	Tableau
$f(x) = ax + b$3	Croissante sur $f(x) = ax + b$4	Flèche montante $f(x) = ax + b$5
$f(x) = ax + b$6	Décroissante sur $f(x) = ax + b$7	Flèche descendante $f(x) = ax + b$8
$f(x) = ax + b$9	Constante sur $a$0	Flèche horizontale $a$1

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Déterminer une fonction affine

Connaissant la pente et un point

Si la pente est $a$2 et la droite passe par $a$3 :

$$f(x) = a(x - x_0) + y_0$$

Exemple : pente $a$4, passant par $a$5 :
$a$6

Connaissant deux points

On calcule d'abord la pente $a$7, puis on utilise un des points.

Exemple : Points $a$8 et $a$9 :
$b$0

$b$1

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Signe d'une fonction affine

Pour $b$2 avec $b$3 :

• Racine : $b$4
• Si $b$5 : $b$6 pour $b$7 et $b$8 pour $b$9
• Si $a$0 : $a$1 pour $a$2 et $a$3 pour $a$4

Règle mnémotechnique : le signe de $a$5 est celui de $a$6 « à droite » de la racine.

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À retenir

• $a$7 : $a$8 est la pente, $a$9 l'ordonnée à l'origine.
• La représentation graphique est une droite.
• $b$0 (pente entre deux points).
• $b$1 → croissante ; $b$2 → décroissante ; $b$3 → constante.
• Le taux de variation d'une fonction affine est constant et égal à $b$4.