Fonction inverse et forme canonique
Fonctions carré et inverse
Fonction inverse et forme canonique
La fonction inverse : $g(x) = \frac{1}{x}$
Définition et domaine
La fonction inverse est définie par :
$$g(x) = \frac{1}{x}$$
Domaine de définition : $D_g = \mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ (on ne peut pas diviser par 0).
Valeurs remarquables :
| $x$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $-0{,}5$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $g(x)$ | $-0{,}25$ | $-0{,}5$ | $-1$ | $-2$ | $2$ | $1$ | $0{,}5$ | $0{,}25$ |
Imparité
La fonction inverse est impaire :
$$g(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -g(x)$$
Conséquence géométrique : la courbe (une hyperbole) est symétrique par rapport à l'origine $O$.
Variations
La fonction inverse est strictement décroissante sur chacun de ses intervalles de définition :
- Décroissante sur $]-\infty \,;\, 0[$
- Décroissante sur $]0 \,;\, +\infty[$
⚠️ On ne peut pas dire que $g$ est décroissante sur $\mathbb{R}^*$ tout entier. Par exemple $g(-1) = -1 < 1 = g(1)$ alors que $-1 < 1$ : l'ordre n'est pas inversé entre les deux intervalles.
Tableau de variation :
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $g(x)$ | $0$ | $\searrow$ | $\pm\infty$ | $\searrow$ | $0$ |
Asymptotes
La courbe de la fonction inverse possède deux asymptotes :
- Asymptote verticale $x = 0$ : quand $x$ tend vers 0, $g(x)$ tend vers $\pm\infty$.
- Asymptote horizontale $y = 0$ : quand $x$ tend vers $\pm\infty$, $g(x)$ tend vers 0.
La courbe se rapproche de ces droites sans jamais les toucher.
Comparaison
Pour deux réels positifs $a$ et $b$ :
$$0 < a < b \implies \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$
L'ordre est inversé en passant à l'inverse (pour des nombres de même signe).
La fonction racine carrée : $h(x) = \sqrt{x}$
Définition
$$h(x) = \sqrt{x}$$
Domaine : $D_h = [0 \,;\, +\infty[$ (on ne peut calculer la racine carrée que de nombres positifs ou nuls).
Propriétés
- $\sqrt{x} \geq 0$ pour tout $x \geq 0$.
- $(\sqrt{x})^2 = x$ et $\sqrt{x^2} = |x|$.
- $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ pour $a, b \geq 0$.
- $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ pour $a \geq 0,\; b > 0$.
Variations
La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0 \,;\, +\infty[$ :
$$0 \leq a < b \implies \sqrt{a} < \sqrt{b}$$
Forme canonique d'un trinôme du second degré
Trinôme du second degré
On appelle trinôme du second degré toute fonction de la forme :
$$f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{avec } a \neq 0$$
Sa courbe représentative est une parabole.
Forme canonique
Tout trinôme $ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous la forme canonique :
$$f(x) = a(x - h)^2 + k$$
avec :
$$h = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad k = f(h) = c - \frac{b^2}{4a}$$
Interprétation graphique
Le point $(h, k)$ est le sommet de la parabole.
- Si $a > 0$ : la parabole est ouverte vers le haut → $k$ est le minimum de $f$.
- Si $a < 0$ : la parabole est ouverte vers le bas → $k$ est le maximum de $f$.
La droite $x = h$ est l'axe de symétrie de la parabole.
Exemple
Mettons $f(x) = 2x^2 - 12x + 22$ sous forme canonique.
$$h = -\frac{-12}{2 \times 2} = \frac{12}{4} = 3$$
$$k = f(3) = 2 \times 9 - 12 \times 3 + 22 = 18 - 36 + 22 = 4$$
$$f(x) = 2(x-3)^2 + 4$$
Vérification par développement :
$2(x-3)^2 + 4 = 2(x^2 - 6x + 9) + 4 = 2x^2 - 12x + 18 + 4 = 2x^2 - 12x + 22$ ✓
Le sommet est $(3, 4)$ et comme $a = 2 > 0$, le minimum de $f$ est $4$, atteint en $x = 3$.
Variations du trinôme
Si $a > 0$ : $f$ décroissante sur $]-\infty; h]$, croissante sur $[h; +\infty[$.
Si $a < 0$ : $f$ croissante sur $]-\infty; h]$, décroissante sur $[h; +\infty[$.
À retenir
- $g(x) = \frac{1}{x}$ est définie sur $\mathbb{R}^*$, impaire, décroissante sur chaque intervalle de son domaine.
- La courbe de la fonction inverse est une hyperbole avec des asymptotes $x=0$ et $y=0$.
- $h(x) = \sqrt{x}$ est définie sur $[0;+\infty[$, croissante.
- La forme canonique $a(x-h)^2 + k$ donne le sommet $(h,k)$ de la parabole.
- $h = -\frac{b}{2a}$ et $k = f(h)$.