Fonction inverse et forme canonique
Fonctions carré et inverse
Fonction inverse et forme canonique
La fonction inverse : $$g(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -g(x)$$1
Définition et domaine
La fonction inverse est définie par :
$$g(x) = \frac{1}{x}$$
Domaine de définition : $$g(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -g(x)$$2 (on ne peut pas diviser par 0).
Valeurs remarquables :
| $$g(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -g(x)$$3 | $$g(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -g(x)$$4 | $$g(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -g(x)$$5 | $$g(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -g(x)$$6 | $$g(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -g(x)$$7 | $$g(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -g(x)$$8 | $$g(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -g(x)$$9 | $$0 < a < b \implies \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$0 | $$0 < a < b \implies \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $$0 < a < b \implies \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$2 | $$0 < a < b \implies \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$3 | $$0 < a < b \implies \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$4 | $$0 < a < b \implies \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$5 | $$0 < a < b \implies \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$6 | $$0 < a < b \implies \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$7 | $$0 < a < b \implies \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$8 | $$0 < a < b \implies \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$9 | $$h(x) = \sqrt{x}$$0 |
Imparité
La fonction inverse est impaire :
$$g(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -g(x)$$
Conséquence géométrique : la courbe (une hyperbole) est symétrique par rapport à l'origine $$h(x) = \sqrt{x}$$1.
Variations
La fonction inverse est strictement décroissante sur chacun de ses intervalles de définition :
- Décroissante sur $$h(x) = \sqrt{x}$$2
- Décroissante sur $$h(x) = \sqrt{x}$$3
⚠️ On ne peut pas dire que $$h(x) = \sqrt{x}$$4 est décroissante sur $$h(x) = \sqrt{x}$$5 tout entier. Par exemple $$h(x) = \sqrt{x}$$6 alors que $$h(x) = \sqrt{x}$$7 : l'ordre n'est pas inversé entre les deux intervalles.
Tableau de variation :
| $$h(x) = \sqrt{x}$$8 | $$h(x) = \sqrt{x}$$9 | $$0 \leq a < b \implies \sqrt{a} < \sqrt{b}$$0 | $$0 \leq a < b \implies \sqrt{a} < \sqrt{b}$$1 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $$0 \leq a < b \implies \sqrt{a} < \sqrt{b}$$2 | $$0 \leq a < b \implies \sqrt{a} < \sqrt{b}$$3 | $$0 \leq a < b \implies \sqrt{a} < \sqrt{b}$$4 | $$0 \leq a < b \implies \sqrt{a} < \sqrt{b}$$5 | $$0 \leq a < b \implies \sqrt{a} < \sqrt{b}$$6 | $$0 \leq a < b \implies \sqrt{a} < \sqrt{b}$$7 |
Asymptotes
La courbe de la fonction inverse possède deux asymptotes :
- Asymptote verticale $$0 \leq a < b \implies \sqrt{a} < \sqrt{b}$$8 : quand $$0 \leq a < b \implies \sqrt{a} < \sqrt{b}$$9 tend vers 0, $$f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{avec } a \neq 0$$0 tend vers $$f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{avec } a \neq 0$$1.
- Asymptote horizontale $$f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{avec } a \neq 0$$2 : quand $$f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{avec } a \neq 0$$3 tend vers $$f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{avec } a \neq 0$$4, $$f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{avec } a \neq 0$$5 tend vers 0.
La courbe se rapproche de ces droites sans jamais les toucher.
Comparaison
Pour deux réels positifs $$f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{avec } a \neq 0$$6 et $$f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{avec } a \neq 0$$7 :
$$0 < a < b \implies \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$
L'ordre est inversé en passant à l'inverse (pour des nombres de même signe).
La fonction racine carrée : $$f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{avec } a \neq 0$$8
Définition
$$h(x) = \sqrt{x}$$
Domaine : $$f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{avec } a \neq 0$$9 (on ne peut calculer la racine carrée que de nombres positifs ou nuls).
Propriétés
- $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$0 pour tout $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$1.
- $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$2 et $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$3.
- $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$4 pour $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$5.
- $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$6 pour $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$7.
Variations
La fonction racine carrée est strictement croissante sur $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$8 :
$$0 \leq a < b \implies \sqrt{a} < \sqrt{b}$$
Forme canonique d'un trinôme du second degré
Trinôme du second degré
On appelle trinôme du second degré toute fonction de la forme :
$$f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{avec } a \neq 0$$
Sa courbe représentative est une parabole.
Forme canonique
Tout trinôme $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$9 peut s'écrire sous la forme canonique :
$$f(x) = a(x - h)^2 + k$$
avec :
$$h = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad k = f(h) = c - \frac{b^2}{4a}$$
Interprétation graphique
Le point $$h = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad k = f(h) = c - \frac{b^2}{4a}$$0 est le sommet de la parabole.
- Si $$h = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad k = f(h) = c - \frac{b^2}{4a}$$1 : la parabole est ouverte vers le haut → $$h = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad k = f(h) = c - \frac{b^2}{4a}$$2 est le minimum de $$h = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad k = f(h) = c - \frac{b^2}{4a}$$3.
- Si $$h = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad k = f(h) = c - \frac{b^2}{4a}$$4 : la parabole est ouverte vers le bas → $$h = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad k = f(h) = c - \frac{b^2}{4a}$$5 est le maximum de $$h = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad k = f(h) = c - \frac{b^2}{4a}$$6.
La droite $$h = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad k = f(h) = c - \frac{b^2}{4a}$$7 est l'axe de symétrie de la parabole.
Exemple
Mettons $$h = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad k = f(h) = c - \frac{b^2}{4a}$$8 sous forme canonique.
$$h = -\frac{-12}{2 \times 2} = \frac{12}{4} = 3$$
$$k = f(3) = 2 \times 9 - 12 \times 3 + 22 = 18 - 36 + 22 = 4$$
$$g(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -g(x)$$0
Vérification par développement :
$$h = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad k = f(h) = c - \frac{b^2}{4a}$$9 ✓
Le sommet est $$h = -\frac{-12}{2 \times 2} = \frac{12}{4} = 3$$0 et comme $$h = -\frac{-12}{2 \times 2} = \frac{12}{4} = 3$$1, le minimum de $$h = -\frac{-12}{2 \times 2} = \frac{12}{4} = 3$$2 est $$h = -\frac{-12}{2 \times 2} = \frac{12}{4} = 3$$3, atteint en $$h = -\frac{-12}{2 \times 2} = \frac{12}{4} = 3$$4.
Variations du trinôme
Si $$h = -\frac{-12}{2 \times 2} = \frac{12}{4} = 3$$5 : $$h = -\frac{-12}{2 \times 2} = \frac{12}{4} = 3$$6 décroissante sur $$h = -\frac{-12}{2 \times 2} = \frac{12}{4} = 3$$7, croissante sur $$h = -\frac{-12}{2 \times 2} = \frac{12}{4} = 3$$8.
Si $$h = -\frac{-12}{2 \times 2} = \frac{12}{4} = 3$$9 : $$k = f(3) = 2 \times 9 - 12 \times 3 + 22 = 18 - 36 + 22 = 4$$0 croissante sur $$k = f(3) = 2 \times 9 - 12 \times 3 + 22 = 18 - 36 + 22 = 4$$1, décroissante sur $$k = f(3) = 2 \times 9 - 12 \times 3 + 22 = 18 - 36 + 22 = 4$$2.
À retenir
- $$k = f(3) = 2 \times 9 - 12 \times 3 + 22 = 18 - 36 + 22 = 4$$3 est définie sur $$k = f(3) = 2 \times 9 - 12 \times 3 + 22 = 18 - 36 + 22 = 4$$4, impaire, décroissante sur chaque intervalle de son domaine.
- La courbe de la fonction inverse est une hyperbole avec des asymptotes $$k = f(3) = 2 \times 9 - 12 \times 3 + 22 = 18 - 36 + 22 = 4$$5 et $$k = f(3) = 2 \times 9 - 12 \times 3 + 22 = 18 - 36 + 22 = 4$$6.
- $$k = f(3) = 2 \times 9 - 12 \times 3 + 22 = 18 - 36 + 22 = 4$$7 est définie sur $$k = f(3) = 2 \times 9 - 12 \times 3 + 22 = 18 - 36 + 22 = 4$$8, croissante.
- La forme canonique $$k = f(3) = 2 \times 9 - 12 \times 3 + 22 = 18 - 36 + 22 = 4$$9 donne le sommet $$g(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -g(x)$$00 de la parabole.
- $$g(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -g(x)$$01 et $$g(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -g(x)$$02.