Fonction carré f(x) = x²
Fonctions carré et inverse
Fonction carré $f(x) = x^2$
Définition et propriétés de base
La fonction carré est définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = x^2$$
Elle associe à chaque nombre réel son carré.
Valeurs remarquables :
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $9$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ |
Courbe représentative : la parabole
La courbe de la fonction carré est une parabole dont le sommet est à l'origine $O(0;0)$.
Elle a la forme d'un « U » ouvert vers le haut.
Propriétés de la courbe
- Domaine de définition : $D_f = \mathbb{R}$.
- Ensemble image : $f(\mathbb{R}) = [0 \,;\, +\infty[$ (un carré est toujours positif ou nul).
- Sommet de la parabole : $O(0;0)$, le minimum de $f$.
Parité
La fonction carré est paire :
$$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$$
pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Conséquence géométrique : la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (la droite $x = 0$).
Interprétation : $(-3)^2 = 9 = 3^2$. Les nombres opposés ont la même image par la fonction carré.
Variations
La fonction carré est :
- Décroissante sur $]-\infty \,;\, 0]$ : si $a < b \leq 0$, alors $a^2 > b^2$.
- Croissante sur $[0 \,;\, +\infty[$ : si $0 \leq a < b$, alors $a^2 < b^2$.
Tableau de variation :
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $\searrow$ | $0$ | $\nearrow$ |
Attention : On ne peut pas comparer $a^2$ et $b^2$ directement si $a$ et $b$ ne sont pas du même signe. Par exemple, $(-5)^2 = 25 > 4 = 2^2$, mais $-5 < 2$.
Comparaison de carrés
Si $a$ et $b$ sont positifs
$$0 \leq a < b \implies a^2 < b^2$$
Si $a$ et $b$ sont négatifs
$$a < b \leq 0 \implies a^2 > b^2$$
L'ordre est inversé pour les nombres négatifs.
La fonction $f(x) = ax^2$ (parabole homothétique)
Pour $a > 0$ :
- Plus $a$ est grand, plus la parabole est resserrée (étroite).
- Plus $a$ est petit (proche de 0), plus elle est aplatie (évasée).
Pour $a < 0$ : la parabole est retournée (ouverte vers le bas).
Résolution graphique de $x^2 = k$
Pour un réel $k$ :
| Valeur de $k$ | Solutions de $x^2 = k$ |
|---|---|
| $k < 0$ | Aucune solution |
| $k = 0$ | $x = 0$ (solution unique) |
| $k > 0$ | $x = \sqrt{k}$ ou $x = -\sqrt{k}$ |
Inéquations avec la fonction carré
Résoudre $x^2 \leq 9$ :
$$x^2 \leq 9 \iff x^2 - 9 \leq 0 \iff (x-3)(x+3) \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 3$$
$$S = [-3 \,;\, 3]$$
Résoudre $x^2 > 4$ :
$$x^2 > 4 \iff x < -2 \text{ ou } x > 2$$
$$S = ]-\infty \,;\, -2[ \cup ]2 \,;\, +\infty[$$
À retenir
- $f(x) = x^2$ est une parabole de sommet $O(0;0)$.
- Fonction paire : $f(-x) = f(x)$ → symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
- Décroissante sur $]-\infty; 0]$ et croissante sur $[0; +\infty[$.
- Un carré est toujours $\geq 0$.
- $x^2 = k$ a deux solutions (si $k > 0$), une (si $k = 0$), aucune (si $k < 0$).