Fonction carré f(x) = x²
Fonctions carré et inverse
Fonction carré $f(x) = x^2$
Définition et propriétés de base
La fonction carré est définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = x^2$$
Elle associe à chaque nombre réel son carré.
Valeurs remarquables :
| $$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$$0 | $$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$$1 | $$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$$2 | $$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$$3 | $$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$$4 | $$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$$5 | $$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$$6 | $$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$$7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$$8 | $$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$$9 | $$0 \leq a < b \implies a^2 < b^2$$0 | $$0 \leq a < b \implies a^2 < b^2$$1 | $$0 \leq a < b \implies a^2 < b^2$$2 | $$0 \leq a < b \implies a^2 < b^2$$3 | $$0 \leq a < b \implies a^2 < b^2$$4 | $$0 \leq a < b \implies a^2 < b^2$$5 |
Courbe représentative : la parabole
La courbe de la fonction carré est une parabole dont le sommet est à l'origine $$0 \leq a < b \implies a^2 < b^2$$6.
Elle a la forme d'un « U » ouvert vers le haut.
Propriétés de la courbe
- Domaine de définition : $$0 \leq a < b \implies a^2 < b^2$$7.
- Ensemble image : $$0 \leq a < b \implies a^2 < b^2$$8 (un carré est toujours positif ou nul).
- Sommet de la parabole : $$0 \leq a < b \implies a^2 < b^2$$9, le minimum de $$a < b \leq 0 \implies a^2 > b^2$$0.
Parité
La fonction carré est paire :
$$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$$
pour tout $$a < b \leq 0 \implies a^2 > b^2$$1.
Conséquence géométrique : la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (la droite $$a < b \leq 0 \implies a^2 > b^2$$2).
Interprétation : $$a < b \leq 0 \implies a^2 > b^2$$3. Les nombres opposés ont la même image par la fonction carré.
Variations
La fonction carré est :
- Décroissante sur $$a < b \leq 0 \implies a^2 > b^2$$4 : si $$a < b \leq 0 \implies a^2 > b^2$$5, alors $$a < b \leq 0 \implies a^2 > b^2$$6.
- Croissante sur $$a < b \leq 0 \implies a^2 > b^2$$7 : si $$a < b \leq 0 \implies a^2 > b^2$$8, alors $$a < b \leq 0 \implies a^2 > b^2$$9.
Tableau de variation :
| $$x^2 \leq 9 \iff x^2 - 9 \leq 0 \iff (x-3)(x+3) \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 3$$0 | $$x^2 \leq 9 \iff x^2 - 9 \leq 0 \iff (x-3)(x+3) \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 3$$1 | $$x^2 \leq 9 \iff x^2 - 9 \leq 0 \iff (x-3)(x+3) \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 3$$2 | $$x^2 \leq 9 \iff x^2 - 9 \leq 0 \iff (x-3)(x+3) \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 3$$3 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $$x^2 \leq 9 \iff x^2 - 9 \leq 0 \iff (x-3)(x+3) \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 3$$4 | $$x^2 \leq 9 \iff x^2 - 9 \leq 0 \iff (x-3)(x+3) \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 3$$5 | $$x^2 \leq 9 \iff x^2 - 9 \leq 0 \iff (x-3)(x+3) \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 3$$6 | $$x^2 \leq 9 \iff x^2 - 9 \leq 0 \iff (x-3)(x+3) \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 3$$7 |
Attention : On ne peut pas comparer $$x^2 \leq 9 \iff x^2 - 9 \leq 0 \iff (x-3)(x+3) \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 3$$8 et $$x^2 \leq 9 \iff x^2 - 9 \leq 0 \iff (x-3)(x+3) \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 3$$9 directement si $$S = [-3 \,;\, 3]$$0 et $$S = [-3 \,;\, 3]$$1 ne sont pas du même signe. Par exemple, $$S = [-3 \,;\, 3]$$2, mais $$S = [-3 \,;\, 3]$$3.
Comparaison de carrés
Si $$S = [-3 \,;\, 3]$$4 et $$S = [-3 \,;\, 3]$$5 sont positifs
$$0 \leq a < b \implies a^2 < b^2$$
Si $$S = [-3 \,;\, 3]$$6 et $$S = [-3 \,;\, 3]$$7 sont négatifs
$$a < b \leq 0 \implies a^2 > b^2$$
L'ordre est inversé pour les nombres négatifs.
La fonction $$S = [-3 \,;\, 3]$$8 (parabole homothétique)
Pour $$S = [-3 \,;\, 3]$$9 :
- Plus $$x^2 > 4 \iff x < -2 \text{ ou } x > 2$$0 est grand, plus la parabole est resserrée (étroite).
- Plus $$x^2 > 4 \iff x < -2 \text{ ou } x > 2$$1 est petit (proche de 0), plus elle est aplatie (évasée).
Pour $$x^2 > 4 \iff x < -2 \text{ ou } x > 2$$2 : la parabole est retournée (ouverte vers le bas).
Résolution graphique de $$x^2 > 4 \iff x < -2 \text{ ou } x > 2$$3
Pour un réel $$x^2 > 4 \iff x < -2 \text{ ou } x > 2$$4 :
| Valeur de $$x^2 > 4 \iff x < -2 \text{ ou } x > 2$$5 | Solutions de $$x^2 > 4 \iff x < -2 \text{ ou } x > 2$$6 |
|---|---|
| $$x^2 > 4 \iff x < -2 \text{ ou } x > 2$$7 | Aucune solution |
| $$x^2 > 4 \iff x < -2 \text{ ou } x > 2$$8 | $$x^2 > 4 \iff x < -2 \text{ ou } x > 2$$9 (solution unique) |
| $$S = ]-\infty \,;\, -2[ \cup ]2 \,;\, +\infty[$$0 | $$S = ]-\infty \,;\, -2[ \cup ]2 \,;\, +\infty[$$1 ou $$S = ]-\infty \,;\, -2[ \cup ]2 \,;\, +\infty[$$2 |
Inéquations avec la fonction carré
Résoudre $$S = ]-\infty \,;\, -2[ \cup ]2 \,;\, +\infty[$$3 :
$$x^2 \leq 9 \iff x^2 - 9 \leq 0 \iff (x-3)(x+3) \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 3$$
$$S = [-3 \,;\, 3]$$
Résoudre $$S = ]-\infty \,;\, -2[ \cup ]2 \,;\, +\infty[$$4 :
$$x^2 > 4 \iff x < -2 \text{ ou } x > 2$$
$$S = ]-\infty \,;\, -2[ \cup ]2 \,;\, +\infty[$$
À retenir
- $$S = ]-\infty \,;\, -2[ \cup ]2 \,;\, +\infty[$$5 est une parabole de sommet $$S = ]-\infty \,;\, -2[ \cup ]2 \,;\, +\infty[$$6.
- Fonction paire : $$S = ]-\infty \,;\, -2[ \cup ]2 \,;\, +\infty[$$7 → symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
- Décroissante sur $$S = ]-\infty \,;\, -2[ \cup ]2 \,;\, +\infty[$$8 et croissante sur $$S = ]-\infty \,;\, -2[ \cup ]2 \,;\, +\infty[$$9.
- Un carré est toujours $f(x) = x^2$0.
- $f(x) = x^2$1 a deux solutions (si $f(x) = x^2$2), une (si $f(x) = x^2$3), aucune (si $f(x) = x^2$4).