Résoudre une équation du premier degré
Équations du premier degré
Résoudre une équation du premier degré
Qu'est-ce qu'une équation ?
Une équation est une égalité comportant un ou plusieurs nombres inconnus, souvent notés $x$.
Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie. Ces valeurs sont les solutions de l'équation.
Exemple : L'équation $2x + 3 = 11$ a pour solution $x = 4$, car $2 \times 4 + 3 = 11$.
Équation du premier degré : $ax + b = 0$
Une équation du premier degré à une inconnue $x$ est de la forme :
$$ax + b = 0$$
où $a$ et $b$ sont des nombres réels donnés.
Résolution
Cas 1 : $a \neq 0$
$$ax + b = 0 \iff ax = -b \iff x = -\frac{b}{a}$$
L'équation admet une unique solution : $x = -\dfrac{b}{a}$.
Cas 2 : $a = 0$ et $b \neq 0$
L'équation devient $0 \cdot x + b = 0$, soit $b = 0$ ce qui est faux. Pas de solution ($S = \emptyset$).
Cas 3 : $a = 0$ et $b = 0$
L'équation devient $0 = 0$, qui est toujours vraie. Tout réel est solution ($S = \mathbb{R}$).
Règles de transformation
Pour résoudre une équation, on applique des transformations élémentaires qui conservent l'ensemble des solutions.
Règle 1 : Ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés
$$A = B \iff A + c = B + c$$
Exemple : $x - 7 = 3 \iff x = 3 + 7 \iff x = 10$
Règle 2 : Multiplier ou diviser les deux côtés par un même nombre non nul
$$A = B \iff c \cdot A = c \cdot B \quad (c \neq 0)$$
Exemple : $\frac{x}{4} = 5 \iff x = 5 \times 4 \iff x = 20$
Méthode de résolution détaillée
Résolvons $3x - 5 = 2x + 7$ :
| Étape | Action | Résultat |
|---|---|---|
| 1 | On soustrait $2x$ des deux côtés | $3x - 2x - 5 = 7$ |
| 2 | On simplifie | $x - 5 = 7$ |
| 3 | On ajoute $5$ des deux côtés | $x = 12$ |
Vérification : $3 \times 12 - 5 = 31$ et $2 \times 12 + 7 = 31$. ✓
Équation produit nul
Propriété fondamentale : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
$$A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$$
Exemple : Résolvons $(2x - 6)(x + 4) = 0$ :
$$2x - 6 = 0 \iff x = 3 \quad \text{ou} \quad x + 4 = 0 \iff x = -4$$
L'ensemble des solutions est $S = \{-4 \,;\, 3\}$.
Mise en équation d'un problème
Méthode
- Identifier l'inconnue et la nommer (ex : $x$).
- Traduire l'énoncé en une équation mathématique.
- Résoudre l'équation.
- Vérifier que la solution a un sens dans le contexte du problème.
Exemple
« Paul a le triple de l'âge de sa fille. La somme de leurs âges est 48 ans. Quel est l'âge de la fille ? »
Soit $x$ l'âge de la fille. L'âge de Paul est $3x$.
$$x + 3x = 48 \iff 4x = 48 \iff x = 12$$
La fille a 12 ans et Paul a $36$ ans. Vérification : $12 + 36 = 48$. ✓
À retenir
- L'équation $ax + b = 0$ a une unique solution $x = -\frac{b}{a}$ lorsque $a \neq 0$.
- On résout en isolant $x$ par des opérations identiques des deux côtés.
- L'équation produit nul $A \times B = 0$ se résout en posant $A = 0$ ou $B = 0$.
- Pour un problème concret : nommer l'inconnue → traduire → résoudre → vérifier.