Résoudre une équation du premier degré
Équations du premier degré
Résoudre une équation du premier degré
Qu'est-ce qu'une équation ?
Une équation est une égalité comportant un ou plusieurs nombres inconnus, souvent notés $x$.
Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie. Ces valeurs sont les solutions de l'équation.
Exemple : L'équation $2x + 3 = 11$ a pour solution $$ax + b = 0 \iff ax = -b \iff x = -\frac{b}{a}$$0, car $$ax + b = 0 \iff ax = -b \iff x = -\frac{b}{a}$$1.
Équation du premier degré : $$ax + b = 0 \iff ax = -b \iff x = -\frac{b}{a}$$2
Une équation du premier degré à une inconnue $$ax + b = 0 \iff ax = -b \iff x = -\frac{b}{a}$$3 est de la forme :
$$ax + b = 0$$
où $$ax + b = 0 \iff ax = -b \iff x = -\frac{b}{a}$$4 et $$ax + b = 0 \iff ax = -b \iff x = -\frac{b}{a}$$5 sont des nombres réels donnés.
Résolution
Cas 1 : $$ax + b = 0 \iff ax = -b \iff x = -\frac{b}{a}$$6
$$ax + b = 0 \iff ax = -b \iff x = -\frac{b}{a}$$
L'équation admet une unique solution : $$ax + b = 0 \iff ax = -b \iff x = -\frac{b}{a}$$7.
Cas 2 : $$ax + b = 0 \iff ax = -b \iff x = -\frac{b}{a}$$8 et $$ax + b = 0 \iff ax = -b \iff x = -\frac{b}{a}$$9
L'équation devient $$A = B \iff A + c = B + c$$0, soit $$A = B \iff A + c = B + c$$1 ce qui est faux. Pas de solution ($$A = B \iff A + c = B + c$$2).
Cas 3 : $$A = B \iff A + c = B + c$$3 et $$A = B \iff A + c = B + c$$4
L'équation devient $$A = B \iff A + c = B + c$$5, qui est toujours vraie. Tout réel est solution ($$A = B \iff A + c = B + c$$6).
Règles de transformation
Pour résoudre une équation, on applique des transformations élémentaires qui conservent l'ensemble des solutions.
Règle 1 : Ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés
$$A = B \iff A + c = B + c$$
Exemple : $$A = B \iff A + c = B + c$$7
Règle 2 : Multiplier ou diviser les deux côtés par un même nombre non nul
$$A = B \iff c \cdot A = c \cdot B \quad (c \neq 0)$$
Exemple : $$A = B \iff A + c = B + c$$8
Méthode de résolution détaillée
Résolvons $$A = B \iff A + c = B + c$$9 :
| Étape | Action | Résultat |
|---|---|---|
| 1 | On soustrait $$A = B \iff c \cdot A = c \cdot B \quad (c \neq 0)$$0 des deux côtés | $$A = B \iff c \cdot A = c \cdot B \quad (c \neq 0)$$1 |
| 2 | On simplifie | $$A = B \iff c \cdot A = c \cdot B \quad (c \neq 0)$$2 |
| 3 | On ajoute $$A = B \iff c \cdot A = c \cdot B \quad (c \neq 0)$$3 des deux côtés | $$A = B \iff c \cdot A = c \cdot B \quad (c \neq 0)$$4 |
Vérification : $$A = B \iff c \cdot A = c \cdot B \quad (c \neq 0)$$5 et $$A = B \iff c \cdot A = c \cdot B \quad (c \neq 0)$$6. ✓
Équation produit nul
Propriété fondamentale : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
$$A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$$
Exemple : Résolvons $$A = B \iff c \cdot A = c \cdot B \quad (c \neq 0)$$7 :
$$2x - 6 = 0 \iff x = 3 \quad \text{ou} \quad x + 4 = 0 \iff x = -4$$
L'ensemble des solutions est $$A = B \iff c \cdot A = c \cdot B \quad (c \neq 0)$$8.
Mise en équation d'un problème
Méthode
- Identifier l'inconnue et la nommer (ex : $$A = B \iff c \cdot A = c \cdot B \quad (c \neq 0)$$9).
- Traduire l'énoncé en une équation mathématique.
- Résoudre l'équation.
- Vérifier que la solution a un sens dans le contexte du problème.
Exemple
« Paul a le triple de l'âge de sa fille. La somme de leurs âges est 48 ans. Quel est l'âge de la fille ? »
Soit $$A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$$0 l'âge de la fille. L'âge de Paul est $$A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$$1.
$$x + 3x = 48 \iff 4x = 48 \iff x = 12$$
La fille a 12 ans et Paul a $$A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$$2 ans. Vérification : $$A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$$3. ✓
À retenir
- L'équation $$A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$$4 a une unique solution $$A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$$5 lorsque $$A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$$6.
- On résout en isolant $$A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$$7 par des opérations identiques des deux côtés.
- L'équation produit nul $$A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$$8 se résout en posant $$A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$$9 ou $$2x - 6 = 0 \iff x = 3 \quad \text{ou} \quad x + 4 = 0 \iff x = -4$$0.
- Pour un problème concret : nommer l'inconnue → traduire → résoudre → vérifier.