Équations avec fractions et valeur absolue

Équations avec fractions

Principe

Pour résoudre une équation contenant des fractions, on peut :

1. Mettre au même dénominateur pour transformer l'équation.
2. Ou multiplier les deux membres par le dénominateur commun pour « éliminer » les fractions.

⚠️ Avant de résoudre, vérifier les valeurs interdites : les valeurs de $x$ qui annulent un dénominateur sont à exclure.

Exemple 1 : Sans valeur interdite

Résolvons $\dfrac{2x+1}{3} = \dfrac{x-2}{5}$

On multiplie les deux membres par $15$ (PPCM de $3$ et $5$) :

$$15 \times \frac{2x+1}{3} = 15 \times \frac{x-2}{5}$$

$$5(2x+1) = 3(x-2)$$

$$10x + 5 = 3x - 6$$

$$7x = -11$$

$$x = -\frac{11}{7}$$

Exemple 2 : Avec valeur interdite

Résolvons $\dfrac{3}{x-1} = \dfrac{5}{x+2}$

Valeurs interdites : $x \neq 1$ et $x \neq -2$ (car ces valeurs annulent les dénominateurs).

On effectue le produit en croix :

$$3(x+2) = 5(x-1)$$

$$3x + 6 = 5x - 5$$

$$11 = 2x$$

$$x = \frac{11}{2} = 5{,}5$$

Comme $5{,}5 \neq 1$ et $5{,}5 \neq -2$, la solution est valide : $S = \left\{\dfrac{11}{2}\right\}$.

Exemple 3 : Solution = valeur interdite

Résolvons $\dfrac{x}{x-3} = \dfrac{3}{x-3} + 1$

Valeur interdite : $x \neq 3$.

On multiplie par $(x-3)$ :

$$x = 3 + (x-3) = x$$

On obtient $x = x$, une identité. Mais la seule « solution » $x = 3$ est interdite. Donc $S = \emptyset$.

---

Équations avec valeur absolue

Rappel

$$|X| = c \quad (c \geq 0) \iff X = c \text{ ou } X = -c$$

Si $c < 0$, l'équation $|X| = c$ n'a aucune solution (car une valeur absolue est toujours $\geq 0$).

Résolution de $|ax + b| = c$

Pour $c \geq 0$ :

$$|ax + b| = c \iff ax + b = c \quad \text{ou} \quad ax + b = -c$$

On résout les deux équations séparément.

Exemple 1

Résolvons $|2x - 5| = 3$ :

Cas 1 : $2x - 5 = 3 \iff 2x = 8 \iff x = 4$

Cas 2 : $2x - 5 = -3 \iff 2x = 2 \iff x = 1$

$$S = \{1 \,;\, 4\}$$

Vérification : $|2 \times 4 - 5| = |3| = 3$ ✓ et $|2 \times 1 - 5| = |-3| = 3$ ✓

Exemple 2

Résolvons $|3x + 1| = -2$ :

La valeur absolue est toujours positive ou nulle, donc $|3x+1| \geq 0 > -2$ pour tout $x$.

$$S = \emptyset$$

Équation du type $|A| = |B|$

$$|A| = |B| \iff A = B \text{ ou } A = -B$$

Exemple : $|x-3| = |2x+1|$

Cas 1 : $x - 3 = 2x + 1 \iff -x = 4 \iff x = -4$

Cas 2 : $x - 3 = -(2x+1) \iff x - 3 = -2x - 1 \iff 3x = 2 \iff x = \frac{2}{3}$

$S = \left\{-4 \,;\, \frac{2}{3}\right\}$

---

Interprétation géométrique de $|x - a| = d$

L'équation $|x - a| = d$ (avec $d > 0$) signifie : la distance entre $x$ et $a$ sur la droite des réels vaut $d$.

Les solutions sont donc $x = a + d$ et $x = a - d$.

Exemple : $|x - 3| = 5 \iff x = 8$ ou $x = -2$ (les deux points à distance 5 de 3).

---

À retenir

• Pour une équation avec fractions : mettre au même dénominateur ou multiplier par le dénominateur commun. Toujours vérifier les valeurs interdites.
• $|X| = c$ avec $c \geq 0$ donne deux équations : $X = c$ ou $X = -c$.
• $|X| = c$ avec $c < 0$ n'a aucune solution.
• $|A| = |B|$ se résout en $A = B$ ou $A = -B$.