Équations avec fractions et valeur absolue

Équations avec fractions

Principe

Pour résoudre une équation contenant des fractions, on peut :

1. Mettre au même dénominateur pour transformer l'équation.
2. Ou multiplier les deux membres par le dénominateur commun pour « éliminer » les fractions.

⚠️ Avant de résoudre, vérifier les valeurs interdites : les valeurs de $$5(2x+1) = 3(x-2)$$5 qui annulent un dénominateur sont à exclure.

Exemple 1 : Sans valeur interdite

Résolvons $$5(2x+1) = 3(x-2)$$6

On multiplie les deux membres par $$5(2x+1) = 3(x-2)$$7 (PPCM de $$5(2x+1) = 3(x-2)$$8 et $$5(2x+1) = 3(x-2)$$9) :

$$15 \times \frac{2x+1}{3} = 15 \times \frac{x-2}{5}$$

$$5(2x+1) = 3(x-2)$$

$$10x + 5 = 3x - 6$$

$$7x = -11$$

$$x = -\frac{11}{7}$$

Exemple 2 : Avec valeur interdite

Résolvons $$10x + 5 = 3x - 6$$0

Valeurs interdites : $$10x + 5 = 3x - 6$$1 et $$10x + 5 = 3x - 6$$2 (car ces valeurs annulent les dénominateurs).

On effectue le produit en croix :

$$3(x+2) = 5(x-1)$$

$$3x + 6 = 5x - 5$$

$$11 = 2x$$

$$x = \frac{11}{2} = 5{,}5$$

Comme $$10x + 5 = 3x - 6$$3 et $$10x + 5 = 3x - 6$$4, la solution est valide : $$10x + 5 = 3x - 6$$5.

Exemple 3 : Solution = valeur interdite

Résolvons $$10x + 5 = 3x - 6$$6

Valeur interdite : $$10x + 5 = 3x - 6$$7.

On multiplie par $$10x + 5 = 3x - 6$$8 :

$$x = 3 + (x-3) = x$$

On obtient $$10x + 5 = 3x - 6$$9, une identité. Mais la seule « solution » $$7x = -11$$0 est interdite. Donc $$7x = -11$$1.

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Équations avec valeur absolue

Rappel

$$5(2x+1) = 3(x-2)$$0

Si $$7x = -11$$2, l'équation $$7x = -11$$3 n'a aucune solution (car une valeur absolue est toujours $$7x = -11$$4).

Résolution de $$7x = -11$$5

Pour $$7x = -11$$6 :

$$5(2x+1) = 3(x-2)$$1

On résout les deux équations séparément.

Exemple 1

Résolvons $$7x = -11$$7 :

Cas 1 : $$7x = -11$$8

Cas 2 : $$7x = -11$$9

$$5(2x+1) = 3(x-2)$$2

Vérification : $$x = -\frac{11}{7}$$0 ✓ et $$x = -\frac{11}{7}$$1 ✓

Exemple 2

Résolvons $$x = -\frac{11}{7}$$2 :

La valeur absolue est toujours positive ou nulle, donc $$x = -\frac{11}{7}$$3 pour tout $$x = -\frac{11}{7}$$4.

$$5(2x+1) = 3(x-2)$$3

Équation du type $$x = -\frac{11}{7}$$5

$$5(2x+1) = 3(x-2)$$4

Exemple : $$x = -\frac{11}{7}$$6

Cas 1 : $$x = -\frac{11}{7}$$7

Cas 2 : $$x = -\frac{11}{7}$$8

$$x = -\frac{11}{7}$$9

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Interprétation géométrique de $$3(x+2) = 5(x-1)$$0

L'équation $$3(x+2) = 5(x-1)$$1 (avec $$3(x+2) = 5(x-1)$$2) signifie : la distance entre $$3(x+2) = 5(x-1)$$3 et $$3(x+2) = 5(x-1)$$4 sur la droite des réels vaut $$3(x+2) = 5(x-1)$$5.

Les solutions sont donc $$3(x+2) = 5(x-1)$$6 et $$3(x+2) = 5(x-1)$$7.

Exemple : $$3(x+2) = 5(x-1)$$8 ou $$3(x+2) = 5(x-1)$$9 (les deux points à distance 5 de 3).

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À retenir

• Pour une équation avec fractions : mettre au même dénominateur ou multiplier par le dénominateur commun. Toujours vérifier les valeurs interdites.
• $$3x + 6 = 5x - 5$$0 avec $$3x + 6 = 5x - 5$$1 donne deux équations : $$3x + 6 = 5x - 5$$2 ou $$3x + 6 = 5x - 5$$3.
• $$3x + 6 = 5x - 5$$4 avec $$3x + 6 = 5x - 5$$5 n'a aucune solution.
• $$3x + 6 = 5x - 5$$6 se résout en $$3x + 6 = 5x - 5$$7 ou $$3x + 6 = 5x - 5$$8.