Résolution algébrique et factorisation

Introduction

Dans la leçon précédente, nous avons vu comment résoudre graphiquement une équation du second degré. Nous allons maintenant apprendre les méthodes algébriques qui permettent de trouver les solutions exactes de $ax^2 + bx + c = 0$.

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Cas particuliers simples

Avant d'utiliser la formule générale, il est important de repérer les cas où la résolution est immédiate.

Cas 1 : Équation sans terme constant ($c = 0$)

Si $c = 0$, l'équation devient :

$$ax^2 + bx = 0$$

On factorise par $x$ :

$$x(ax + b) = 0$$

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul :

$$x = 0 \quad \text{ou} \quad ax + b = 0 \iff x = -\frac{b}{a}$$

Exemple : Résoudre $3x^2 - 6x = 0$.

$$3x^2 - 6x = 0 \iff 3x(x - 2) = 0$$

Donc $x = 0$ ou $x = 2$. L'ensemble des solutions est $\mathcal{S} = \{0 ;\; 2\}$.

Cas 2 : Équation sans terme en $x$ ($b = 0$)

Si $b = 0$, l'équation devient :

$$ax^2 + c = 0 \iff ax^2 = -c \iff x^2 = -\frac{c}{a}$$

• Si $-\frac{c}{a} > 0$ : deux solutions $x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$
• Si $-\frac{c}{a} = 0$ : une solution $x = 0$
• Si $-\frac{c}{a} < 0$ : aucune solution (un carré ne peut pas être négatif)

Exemple : Résoudre $2x^2 - 18 = 0$.

$$2x^2 = 18 \iff x^2 = 9 \iff x = 3 \text{ ou } x = -3$$

$\mathcal{S} = \{-3 ;\; 3\}$.

Exemple : Résoudre $x^2 + 4 = 0$.

$$x^2 = -4$$

Un carré est toujours positif ou nul, donc cette équation n'a aucune solution réelle. $\mathcal{S} = \emptyset$.

Cas 3 : Identités remarquables

Parfois on reconnaît une identité remarquable :

• $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
• $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
• $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$

Exemple : Résoudre $x^2 - 16 = 0$.

On reconnaît $a^2 - b^2$ avec $a = x$ et $b = 4$ :

$$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$$

Donc $x = 4$ ou $x = -4$. $\mathcal{S} = \{-4 ;\; 4\}$.

Exemple : Résoudre $4x^2 - 12x + 9 = 0$.

On reconnaît $(2x)^2 - 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = (2x - 3)^2$ :

$$4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2 = 0 \iff 2x - 3 = 0 \iff x = \frac{3}{2}$$

$\mathcal{S} = \left\{\frac{3}{2}\right\}$.

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Le discriminant $\Delta$

Pour résoudre le cas général $ax^2 + bx + c = 0$ (avec $a \neq 0$), on utilise le discriminant.

Définition

Le discriminant de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ est le nombre :

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Le signe de $\Delta$ détermine le nombre de solutions

Signe de $\Delta$	Nombre de solutions	Interprétation graphique
$\Delta > 0$	2 solutions distinctes	La parabole coupe l'axe des $x$ en 2 points
$\Delta = 0$	1 solution double	La parabole est tangente à l'axe des $x$
$\Delta < 0$	Aucune solution réelle	La parabole ne coupe pas l'axe des $x$

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Les formules des racines

Quand $\Delta > 0$ : deux solutions

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{et} \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Ou de manière compacte :

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Quand $\Delta = 0$ : une solution double

$$x_0 = -\frac{b}{2a}$$

Quand $\Delta < 0$

Aucune solution réelle.

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Méthode complète de résolution

Pour résoudre $ax^2 + bx + c = 0$ :

1. Identifier $a$, $b$ et $c$
2. Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$
3. Conclure selon le signe de $\Delta$

Exemple détaillé 1

Résoudre $2x^2 - 7x + 3 = 0$.

Étape 1 : $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$.

Étape 2 : $\Delta = (-7)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 49 - 24 = 25$.

Étape 3 : $\Delta = 25 > 0$ → deux solutions.

$$x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \times 2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

$$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \times 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$$

$\mathcal{S} = \left\{\frac{1}{2} ;\; 3\right\}$.

Exemple détaillé 2

Résoudre $x^2 - 6x + 9 = 0$.

Étape 1 : $a = 1$, $b = -6$, $c = 9$.

Étape 2 : $\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 9 = 36 - 36 = 0$.

Étape 3 : $\Delta = 0$ → une solution double.

$$x_0 = -\frac{-6}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3$$

$\mathcal{S} = \{3\}$.

On vérifie : $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ ✓.

Exemple détaillé 3

Résoudre $3x^2 + 2x + 1 = 0$.

Étape 1 : $a = 3$, $b = 2$, $c = 1$.

Étape 2 : $\Delta = 2^2 - 4 \times 3 \times 1 = 4 - 12 = -8$.

Étape 3 : $\Delta = -8 < 0$ → aucune solution réelle.

$\mathcal{S} = \emptyset$.

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Factorisation d'un polynôme du second degré

Le discriminant permet aussi de factoriser le polynôme.

Si $\Delta > 0$

$$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$

Exemple : $2x^2 - 7x + 3$ avec $x_1 = \frac{1}{2}$ et $x_2 = 3$ :

$$2x^2 - 7x + 3 = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x - 3)$$

Si $\Delta = 0$

$$ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$$

Exemple : $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.

Si $\Delta < 0$

Le polynôme ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$ (il garde un signe constant).

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Somme et produit des racines

Lorsque $\Delta \geq 0$, les racines $x_1$ et $x_2$ vérifient des relations remarquables :

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$

$$x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}$$

Ces formules sont très utiles pour vérifier un résultat ou pour reconstituer une équation à partir de ses racines.

Exemple : Pour $2x^2 - 7x + 3 = 0$, on a trouvé $x_1 = \frac{1}{2}$ et $x_2 = 3$.

Vérification :
- $x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2} = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{2} = \frac{7}{2}$ ✓
- $x_1 \times x_2 = \frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2} = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$ ✓

Application : Trouver une équation du second degré dont les racines sont $4$ et $-1$.

• Somme : $4 + (-1) = 3 = -\frac{b}{a}$
• Produit : $4 \times (-1) = -4 = \frac{c}{a}$

En prenant $a = 1$ : $b = -3$ et $c = -4$.

L'équation est $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Vérification : $\Delta = 9 + 16 = 25$, $x = \frac{3 \pm 5}{2}$ → $x = 4$ ou $x = -1$ ✓.

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Exercices résolus

Exercice 1

Résoudre $5x^2 + 3x - 2 = 0$.

Solution :

$a = 5$, $b = 3$, $c = -2$.

$\Delta = 3^2 - 4 \times 5 \times (-2) = 9 + 40 = 49 > 0$.

$$x_1 = \frac{-3 - 7}{10} = \frac{-10}{10} = -1 \qquad x_2 = \frac{-3 + 7}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$

$\mathcal{S} = \left\{-1 ;\; \frac{2}{5}\right\}$.

Exercice 2

Résoudre $-x^2 + 4x - 4 = 0$.

Solution :

$a = -1$, $b = 4$, $c = -4$.

$\Delta = 16 - 4 \times (-1) \times (-4) = 16 - 16 = 0$.

Solution double : $x_0 = -\frac{4}{2 \times (-1)} = 2$.

$\mathcal{S} = \{2\}$.

Exercice 3

Factoriser $P(x) = 6x^2 - x - 2$.

Solution :

$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 6 \times (-2) = 1 + 48 = 49$.

$x_1 = \frac{1 - 7}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$ et $x_2 = \frac{1 + 7}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

$$P(x) = 6\left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{2}{3}\right)$$

Ou encore : $P(x) = (2x + 1)(3x - 2)$.

Exercice 4

Sans résoudre, déterminer la somme et le produit des racines de $4x^2 + 8x - 5 = 0$, puis vérifier.

Solution :

$S = x_1 + x_2 = -\frac{8}{4} = -2$ et $P = x_1 \times x_2 = \frac{-5}{4}$.

Vérification : $\Delta = 64 + 80 = 144$, $\sqrt{\Delta} = 12$.

$x_1 = \frac{-8 - 12}{8} = -\frac{20}{8} = -\frac{5}{2}$ et $x_2 = \frac{-8 + 12}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

$S = -\frac{5}{2} + \frac{1}{2} = -2$ ✓ et $P = -\frac{5}{2} \times \frac{1}{2} = -\frac{5}{4}$ ✓.