Résolution algébrique et factorisation

Introduction

Dans la leçon précédente, nous avons vu comment résoudre graphiquement une équation du second degré. Nous allons maintenant apprendre les méthodes algébriques qui permettent de trouver les solutions exactes de $$x = 0 \quad \text{ou} \quad ax + b = 0 \iff x = -\frac{b}{a}$$3.

---

Cas particuliers simples

Avant d'utiliser la formule générale, il est important de repérer les cas où la résolution est immédiate.

Cas 1 : Équation sans terme constant ($$x = 0 \quad \text{ou} \quad ax + b = 0 \iff x = -\frac{b}{a}$$4)

Si $$x = 0 \quad \text{ou} \quad ax + b = 0 \iff x = -\frac{b}{a}$$5, l'équation devient :

$$ax^2 + bx = 0$$

On factorise par $$x = 0 \quad \text{ou} \quad ax + b = 0 \iff x = -\frac{b}{a}$$6 :

$$x(ax + b) = 0$$

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul :

$$x = 0 \quad \text{ou} \quad ax + b = 0 \iff x = -\frac{b}{a}$$

Exemple : Résoudre $$x = 0 \quad \text{ou} \quad ax + b = 0 \iff x = -\frac{b}{a}$$7.

$$3x^2 - 6x = 0 \iff 3x(x - 2) = 0$$

Donc $$x = 0 \quad \text{ou} \quad ax + b = 0 \iff x = -\frac{b}{a}$$8 ou $$x = 0 \quad \text{ou} \quad ax + b = 0 \iff x = -\frac{b}{a}$$9. L'ensemble des solutions est $$3x^2 - 6x = 0 \iff 3x(x - 2) = 0$$0.

Cas 2 : Équation sans terme en $$3x^2 - 6x = 0 \iff 3x(x - 2) = 0$$1 ($$3x^2 - 6x = 0 \iff 3x(x - 2) = 0$$2)

Si $$3x^2 - 6x = 0 \iff 3x(x - 2) = 0$$3, l'équation devient :

$$ax^2 + c = 0 \iff ax^2 = -c \iff x^2 = -\frac{c}{a}$$

• Si $$3x^2 - 6x = 0 \iff 3x(x - 2) = 0$$4 : deux solutions $$3x^2 - 6x = 0 \iff 3x(x - 2) = 0$$5
• Si $$3x^2 - 6x = 0 \iff 3x(x - 2) = 0$$6 : une solution $$3x^2 - 6x = 0 \iff 3x(x - 2) = 0$$7
• Si $$3x^2 - 6x = 0 \iff 3x(x - 2) = 0$$8 : aucune solution (un carré ne peut pas être négatif)

Exemple : Résoudre $$3x^2 - 6x = 0 \iff 3x(x - 2) = 0$$9.

$$2x^2 = 18 \iff x^2 = 9 \iff x = 3 \text{ ou } x = -3$$

$$ax^2 + c = 0 \iff ax^2 = -c \iff x^2 = -\frac{c}{a}$$0.

Exemple : Résoudre $$ax^2 + c = 0 \iff ax^2 = -c \iff x^2 = -\frac{c}{a}$$1.

$$x^2 = -4$$

Un carré est toujours positif ou nul, donc cette équation n'a aucune solution réelle. $$ax^2 + c = 0 \iff ax^2 = -c \iff x^2 = -\frac{c}{a}$$2.

Cas 3 : Identités remarquables

Parfois on reconnaît une identité remarquable :

• $$ax^2 + c = 0 \iff ax^2 = -c \iff x^2 = -\frac{c}{a}$$3
• $$ax^2 + c = 0 \iff ax^2 = -c \iff x^2 = -\frac{c}{a}$$4
• $$ax^2 + c = 0 \iff ax^2 = -c \iff x^2 = -\frac{c}{a}$$5

Exemple : Résoudre $$ax^2 + c = 0 \iff ax^2 = -c \iff x^2 = -\frac{c}{a}$$6.

On reconnaît $$ax^2 + c = 0 \iff ax^2 = -c \iff x^2 = -\frac{c}{a}$$7 avec $$ax^2 + c = 0 \iff ax^2 = -c \iff x^2 = -\frac{c}{a}$$8 et $$ax^2 + c = 0 \iff ax^2 = -c \iff x^2 = -\frac{c}{a}$$9 :

$$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$$

Donc $$2x^2 = 18 \iff x^2 = 9 \iff x = 3 \text{ ou } x = -3$$0 ou $$2x^2 = 18 \iff x^2 = 9 \iff x = 3 \text{ ou } x = -3$$1. $$2x^2 = 18 \iff x^2 = 9 \iff x = 3 \text{ ou } x = -3$$2.

Exemple : Résoudre $$2x^2 = 18 \iff x^2 = 9 \iff x = 3 \text{ ou } x = -3$$3.

On reconnaît $$2x^2 = 18 \iff x^2 = 9 \iff x = 3 \text{ ou } x = -3$$4 :

$$4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2 = 0 \iff 2x - 3 = 0 \iff x = \frac{3}{2}$$

$$2x^2 = 18 \iff x^2 = 9 \iff x = 3 \text{ ou } x = -3$$5.

---

Le discriminant $$2x^2 = 18 \iff x^2 = 9 \iff x = 3 \text{ ou } x = -3$$6

Pour résoudre le cas général $$2x^2 = 18 \iff x^2 = 9 \iff x = 3 \text{ ou } x = -3$$7 (avec $$2x^2 = 18 \iff x^2 = 9 \iff x = 3 \text{ ou } x = -3$$8), on utilise le discriminant.

Définition

Le discriminant de l'équation $$2x^2 = 18 \iff x^2 = 9 \iff x = 3 \text{ ou } x = -3$$9 est le nombre :

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Le signe de $$x^2 = -4$$0 détermine le nombre de solutions

Signe de $$x^2 = -4$$1	Nombre de solutions	Interprétation graphique
$$x^2 = -4$$2	2 solutions distinctes	La parabole coupe l'axe des $$x^2 = -4$$3 en 2 points
$$x^2 = -4$$4	1 solution double	La parabole est tangente à l'axe des $$x^2 = -4$$5
$$x^2 = -4$$6	Aucune solution réelle	La parabole ne coupe pas l'axe des $$x^2 = -4$$7

---

Les formules des racines

Quand $$x^2 = -4$$8 : deux solutions

$$x(ax + b) = 0$$0

Ou de manière compacte :

$$x(ax + b) = 0$$1

Quand $$x^2 = -4$$9 : une solution double

$$x(ax + b) = 0$$2

Quand $$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$$0

Aucune solution réelle.

---

Méthode complète de résolution

Pour résoudre $$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$$1 :

1. Identifier $$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$$2, $$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$$3 et $$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$$4
2. Calculer $$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$$5
3. Conclure selon le signe de $$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$$6

Exemple détaillé 1

Résoudre $$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$$7.

Étape 1 : $$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$$8, $$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$$9, $$4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2 = 0 \iff 2x - 3 = 0 \iff x = \frac{3}{2}$$0.

Étape 2 : $$4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2 = 0 \iff 2x - 3 = 0 \iff x = \frac{3}{2}$$1.

Étape 3 : $$4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2 = 0 \iff 2x - 3 = 0 \iff x = \frac{3}{2}$$2 → deux solutions.

$$x(ax + b) = 0$$3

$$x(ax + b) = 0$$4

$$4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2 = 0 \iff 2x - 3 = 0 \iff x = \frac{3}{2}$$3.

Exemple détaillé 2

Résoudre $$4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2 = 0 \iff 2x - 3 = 0 \iff x = \frac{3}{2}$$4.

Étape 1 : $$4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2 = 0 \iff 2x - 3 = 0 \iff x = \frac{3}{2}$$5, $$4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2 = 0 \iff 2x - 3 = 0 \iff x = \frac{3}{2}$$6, $$4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2 = 0 \iff 2x - 3 = 0 \iff x = \frac{3}{2}$$7.

Étape 2 : $$4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2 = 0 \iff 2x - 3 = 0 \iff x = \frac{3}{2}$$8.

Étape 3 : $$4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2 = 0 \iff 2x - 3 = 0 \iff x = \frac{3}{2}$$9 → une solution double.

$$x(ax + b) = 0$$5

$$\Delta = b^2 - 4ac$$0.

On vérifie : $$\Delta = b^2 - 4ac$$1 ✓.

Exemple détaillé 3

Résoudre $$\Delta = b^2 - 4ac$$2.

Étape 1 : $$\Delta = b^2 - 4ac$$3, $$\Delta = b^2 - 4ac$$4, $$\Delta = b^2 - 4ac$$5.

Étape 2 : $$\Delta = b^2 - 4ac$$6.

Étape 3 : $$\Delta = b^2 - 4ac$$7 → aucune solution réelle.

$$\Delta = b^2 - 4ac$$8.

---

Factorisation d'un polynôme du second degré

Le discriminant permet aussi de factoriser le polynôme.

Si $$\Delta = b^2 - 4ac$$9

$$x(ax + b) = 0$$6

Exemple : $$x(ax + b) = 0$$00 avec $$x(ax + b) = 0$$01 et $$x(ax + b) = 0$$02 :

$$x(ax + b) = 0$$7

Si $$x(ax + b) = 0$$03

$$x(ax + b) = 0$$8

Exemple : $$x(ax + b) = 0$$04.

Si $$x(ax + b) = 0$$05

Le polynôme ne se factorise pas dans $$x(ax + b) = 0$$06 (il garde un signe constant).

---

Somme et produit des racines

Lorsque $$x(ax + b) = 0$$07, les racines $$x(ax + b) = 0$$08 et $$x(ax + b) = 0$$09 vérifient des relations remarquables :

$$x(ax + b) = 0$$9

$$x = 0 \quad \text{ou} \quad ax + b = 0 \iff x = -\frac{b}{a}$$0

Ces formules sont très utiles pour vérifier un résultat ou pour reconstituer une équation à partir de ses racines.

Exemple : Pour $$x(ax + b) = 0$$10, on a trouvé $$x(ax + b) = 0$$11 et $$x(ax + b) = 0$$12.

Vérification :
- $$x(ax + b) = 0$$13 ✓
- $$x(ax + b) = 0$$14 ✓

Application : Trouver une équation du second degré dont les racines sont $$x(ax + b) = 0$$15 et $$x(ax + b) = 0$$16.

• Somme : $$x(ax + b) = 0$$17
• Produit : $$x(ax + b) = 0$$18

En prenant $$x(ax + b) = 0$$19 : $$x(ax + b) = 0$$20 et $$x(ax + b) = 0$$21.

L'équation est $$x(ax + b) = 0$$22.

Vérification : $$x(ax + b) = 0$$23, $$x(ax + b) = 0$$24 → $$x(ax + b) = 0$$25 ou $$x(ax + b) = 0$$26 ✓.

---

Exercices résolus

Exercice 1

Résoudre $$x(ax + b) = 0$$27.

Solution :

$$x(ax + b) = 0$$28, $$x(ax + b) = 0$$29, $$x(ax + b) = 0$$30.

$$x(ax + b) = 0$$31.

$$x = 0 \quad \text{ou} \quad ax + b = 0 \iff x = -\frac{b}{a}$$1

$$x(ax + b) = 0$$32.

Exercice 2

Résoudre $$x(ax + b) = 0$$33.

Solution :

$$x(ax + b) = 0$$34, $$x(ax + b) = 0$$35, $$x(ax + b) = 0$$36.

$$x(ax + b) = 0$$37.

Solution double : $$x(ax + b) = 0$$38.

$$x(ax + b) = 0$$39.

Exercice 3

Factoriser $$x(ax + b) = 0$$40.

Solution :

$$x(ax + b) = 0$$41.

$$x(ax + b) = 0$$42 et $$x(ax + b) = 0$$43.

$$x = 0 \quad \text{ou} \quad ax + b = 0 \iff x = -\frac{b}{a}$$2

Ou encore : $$x(ax + b) = 0$$44.

Exercice 4

Sans résoudre, déterminer la somme et le produit des racines de $$x(ax + b) = 0$$45, puis vérifier.

Solution :

$$x(ax + b) = 0$$46 et $$x(ax + b) = 0$$47.

Vérification : $$x(ax + b) = 0$$48, $$x(ax + b) = 0$$49.

$$x(ax + b) = 0$$50 et $$x(ax + b) = 0$$51.

$$x(ax + b) = 0$$52 ✓ et $$x(ax + b) = 0$$53 ✓.