Forme canonique et résolution graphique
Équation du second degré
Forme canonique et résolution graphique
Introduction
Une équation du second degré est une équation de la forme :
$$ax^2 + bx + c = 0$$
où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels avec $a \neq 0$.
Cette équation est fondamentale en mathématiques car elle apparaît dans de nombreux problèmes : trajectoires de projectiles, optimisation d'aires, modélisation de phénomènes physiques…
Les trois formes d'un polynôme du second degré
Un polynôme du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous trois formes différentes.
1. Forme développée
C'est la forme la plus courante :
$$f(x) = ax^2 + bx + c$$
On lit directement les coefficients $a$, $b$ et $c$.
Exemples :
- $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ → ici $a = 2$, $b = -3$, $c = 1$
- $g(x) = -x^2 + 4x - 4$ → ici $a = -1$, $b = 4$, $c = -4$
- $h(x) = x^2 - 9$ → ici $a = 1$, $b = 0$, $c = -9$
2. Forme canonique
Tout polynôme du second degré peut s'écrire sous la forme :
$$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$
où $\alpha$ et $\beta$ sont calculés à partir de $a$, $b$ et $c$ :
$$\alpha = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad \beta = f(\alpha) = c - \frac{b^2}{4a}$$
Le point $(\alpha ;\; \beta)$ est le sommet de la parabole.
Pourquoi cette forme est utile ? Elle permet de lire directement le sommet de la parabole et de déduire les variations de la fonction.
Exemple détaillé : Mettre $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$ sous forme canonique.
Étape 1 : Calculer $\alpha$ :
$$\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2$$
Étape 2 : Calculer $\beta$ :
$$\beta = f(2) = 2 \times 2^2 - 8 \times 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$$
Étape 3 : Écrire la forme canonique :
$$f(x) = 2(x - 2)^2 - 2$$
Vérification en développant :
$$2(x - 2)^2 - 2 = 2(x^2 - 4x + 4) - 2 = 2x^2 - 8x + 8 - 2 = 2x^2 - 8x + 6 \; ✓$$
Exemple 2 : Mettre $g(x) = -x^2 + 6x - 5$ sous forme canonique.
$$\alpha = -\frac{6}{2 \times (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$$
$$\beta = g(3) = -(3)^2 + 6 \times 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$$
$$g(x) = -(x - 3)^2 + 4$$
3. Forme factorisée
Lorsque le polynôme admet deux racines $x_1$ et $x_2$, on peut écrire :
$$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$
Cette forme est très utile pour résoudre $f(x) = 0$ et pour étudier le signe de $f(x)$.
Exemple : $f(x) = 2(x - 1)(x - 3)$
Les racines sont $x_1 = 1$ et $x_2 = 3$.
Développons : $2(x-1)(x-3) = 2(x^2 - 4x + 3) = 2x^2 - 8x + 6$ → on retrouve la forme développée.
La parabole : représentation graphique
La courbe représentative de $f(x) = ax^2 + bx + c$ est une parabole.
Orientation de la parabole
| Signe de $a$ | Orientation | Sommet |
|---|---|---|
| $a > 0$ | Parabole tournée vers le haut (∪) | Point minimum |
| $a < 0$ | Parabole tournée vers le bas (∩) | Point maximum |
Axe de symétrie
La parabole admet un axe de symétrie vertical d'équation :
$$x = \alpha = -\frac{b}{2a}$$
Sommet de la parabole
Le sommet a pour coordonnées $S(\alpha ;\; \beta)$.
Résolution graphique de $ax^2 + bx + c = 0$
Résoudre $f(x) = 0$ revient à chercher les points d'intersection de la parabole $y = f(x)$ avec l'axe des abscisses ($y = 0$).
Les trois cas possibles
Cas 1 : Deux points d'intersection
La parabole coupe l'axe des $x$ en deux points. L'équation $f(x) = 0$ a deux solutions distinctes $x_1$ et $x_2$.
Exemple : $f(x) = x^2 - 5x + 6$
Le sommet est en $\alpha = \frac{5}{2} = 2{,}5$ et $\beta = (2{,}5)^2 - 5 \times 2{,}5 + 6 = -0{,}25 < 0$.
Comme $a = 1 > 0$ et $\beta < 0$, la parabole coupe l'axe des $x$ en deux points → deux solutions.
Cas 2 : Un seul point d'intersection
La parabole est tangente à l'axe des $x$. L'équation a une solution double $x_0 = \alpha$.
Exemple : $f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$
Le sommet est en $(2 ;\; 0)$, qui est sur l'axe des $x$ → une solution double $x = 2$.
Cas 3 : Aucun point d'intersection
La parabole ne coupe pas l'axe des $x$. L'équation n'a aucune solution réelle.
Exemple : $f(x) = x^2 + 1$
Le sommet est en $(0 ;\; 1)$. Comme $a > 0$ et $\beta = 1 > 0$, la parabole est entièrement au-dessus de l'axe des $x$ → aucune solution.
Lien entre les racines et la parabole
Si $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, alors :
- Les racines $x_1$ et $x_2$ sont les abscisses des points d'intersection avec l'axe des $x$.
- L'axe de symétrie passe par le milieu des deux racines :
$$\alpha = \frac{x_1 + x_2}{2}$$
Exemple : Pour $f(x) = 2(x-1)(x-3)$, les racines sont $1$ et $3$.
L'axe de symétrie est $x = \frac{1+3}{2} = 2$, et le sommet est $S(2 ;\; f(2)) = S(2 ;\; -2)$.
Exercices résolus
Exercice 1
Mettre $f(x) = 3x^2 + 12x + 9$ sous forme canonique.
Solution :
$$\alpha = -\frac{12}{2 \times 3} = -\frac{12}{6} = -2$$
$$\beta = f(-2) = 3 \times (-2)^2 + 12 \times (-2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3$$
$$f(x) = 3(x + 2)^2 - 3$$
Exercice 2
Sans calculer, combien de solutions a $-2x^2 + 3x - 5 = 0$ ?
Solution : On a $a = -2 < 0$ (parabole tournée vers le bas). Calculons $\beta$ :
$$\alpha = -\frac{3}{2 \times (-2)} = \frac{3}{4}$$
$$\beta = f\left(\frac{3}{4}\right) = -2 \times \frac{9}{16} + 3 \times \frac{3}{4} - 5 = -\frac{9}{8} + \frac{9}{4} - 5 = -\frac{9}{8} + \frac{18}{8} - \frac{40}{8} = -\frac{31}{8} < 0$$
Comme $a < 0$ et $\beta < 0$, le sommet est en dessous de l'axe des $x$ et la parabole est tournée vers le bas : la parabole est entièrement en dessous de l'axe des $x$ → aucune solution.
Exercice 3
La parabole $y = x^2 - 2x - 3$ coupe-t-elle l'axe des $x$ ? Si oui, en quels points ?
Solution : Cherchons le sommet :
$$\alpha = -\frac{-2}{2 \times 1} = 1, \quad \beta = 1 - 2 - 3 = -4$$
Comme $a = 1 > 0$ et $\beta = -4 < 0$, la parabole coupe l'axe des $x$ en deux points.
On factorise : $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$ (on vérifie : $(x-3)(x+1) = x^2 + x - 3x - 3 = x^2 - 2x - 3$ ✓).
Les solutions sont $x = 3$ et $x = -1$.