Forme canonique et résolution graphique

Introduction

Une équation du second degré est une équation de la forme :

$$ax^2 + bx + c = 0$$

où $$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$0, $$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$1 et $$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$2 sont des nombres réels avec $$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$3.

Cette équation est fondamentale en mathématiques car elle apparaît dans de nombreux problèmes : trajectoires de projectiles, optimisation d'aires, modélisation de phénomènes physiques…

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Les trois formes d'un polynôme du second degré

Un polynôme du second degré $$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$4 peut s'écrire sous trois formes différentes.

1. Forme développée

C'est la forme la plus courante :

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

On lit directement les coefficients $$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$5, $$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$6 et $$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$7.

Exemples :

• $$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$8 → ici $$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$9, $$\alpha = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad \beta = f(\alpha) = c - \frac{b^2}{4a}$$0, $$\alpha = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad \beta = f(\alpha) = c - \frac{b^2}{4a}$$1
• $$\alpha = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad \beta = f(\alpha) = c - \frac{b^2}{4a}$$2 → ici $$\alpha = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad \beta = f(\alpha) = c - \frac{b^2}{4a}$$3, $$\alpha = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad \beta = f(\alpha) = c - \frac{b^2}{4a}$$4, $$\alpha = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad \beta = f(\alpha) = c - \frac{b^2}{4a}$$5
• $$\alpha = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad \beta = f(\alpha) = c - \frac{b^2}{4a}$$6 → ici $$\alpha = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad \beta = f(\alpha) = c - \frac{b^2}{4a}$$7, $$\alpha = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad \beta = f(\alpha) = c - \frac{b^2}{4a}$$8, $$\alpha = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad \beta = f(\alpha) = c - \frac{b^2}{4a}$$9

2. Forme canonique

Tout polynôme du second degré peut s'écrire sous la forme :

$$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$

où $$\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2$$0 et $$\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2$$1 sont calculés à partir de $$\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2$$2, $$\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2$$3 et $$\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2$$4 :

$$\alpha = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad \beta = f(\alpha) = c - \frac{b^2}{4a}$$

Le point $$\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2$$5 est le sommet de la parabole.

Pourquoi cette forme est utile ? Elle permet de lire directement le sommet de la parabole et de déduire les variations de la fonction.

Exemple détaillé : Mettre $$\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2$$6 sous forme canonique.

Étape 1 : Calculer $$\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2$$7 :
$$\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2$$

Étape 2 : Calculer $$\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2$$8 :
$$\beta = f(2) = 2 \times 2^2 - 8 \times 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$$

Étape 3 : Écrire la forme canonique :
$$f(x) = 2(x - 2)^2 - 2$$

Vérification en développant :
$$2(x - 2)^2 - 2 = 2(x^2 - 4x + 4) - 2 = 2x^2 - 8x + 8 - 2 = 2x^2 - 8x + 6 \; ✓$$

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Exemple 2 : Mettre $$\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2$$9 sous forme canonique.

$$\alpha = -\frac{6}{2 \times (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$$

$$\beta = g(3) = -(3)^2 + 6 \times 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$$

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$0

3. Forme factorisée

Lorsque le polynôme admet deux racines $$\beta = f(2) = 2 \times 2^2 - 8 \times 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$$0 et $$\beta = f(2) = 2 \times 2^2 - 8 \times 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$$1, on peut écrire :

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$1

Cette forme est très utile pour résoudre $$\beta = f(2) = 2 \times 2^2 - 8 \times 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$$2 et pour étudier le signe de $$\beta = f(2) = 2 \times 2^2 - 8 \times 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$$3.

Exemple : $$\beta = f(2) = 2 \times 2^2 - 8 \times 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$$4

Les racines sont $$\beta = f(2) = 2 \times 2^2 - 8 \times 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$$5 et $$\beta = f(2) = 2 \times 2^2 - 8 \times 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$$6.

Développons : $$\beta = f(2) = 2 \times 2^2 - 8 \times 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$$7 → on retrouve la forme développée.

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La parabole : représentation graphique

La courbe représentative de $$\beta = f(2) = 2 \times 2^2 - 8 \times 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$$8 est une parabole.

Orientation de la parabole

Signe de $$\beta = f(2) = 2 \times 2^2 - 8 \times 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$$9	Orientation	Sommet
$$f(x) = 2(x - 2)^2 - 2$$0	Parabole tournée vers le haut (∪)	Point minimum
$$f(x) = 2(x - 2)^2 - 2$$1	Parabole tournée vers le bas (∩)	Point maximum

Axe de symétrie

La parabole admet un axe de symétrie vertical d'équation :

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$2

Sommet de la parabole

Le sommet a pour coordonnées $$f(x) = 2(x - 2)^2 - 2$$2.

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Résolution graphique de $$f(x) = 2(x - 2)^2 - 2$$3

Résoudre $$f(x) = 2(x - 2)^2 - 2$$4 revient à chercher les points d'intersection de la parabole $$f(x) = 2(x - 2)^2 - 2$$5 avec l'axe des abscisses ($$f(x) = 2(x - 2)^2 - 2$$6).

Les trois cas possibles

Cas 1 : Deux points d'intersection

La parabole coupe l'axe des $$f(x) = 2(x - 2)^2 - 2$$7 en deux points. L'équation $$f(x) = 2(x - 2)^2 - 2$$8 a deux solutions distinctes $$f(x) = 2(x - 2)^2 - 2$$9 et $$2(x - 2)^2 - 2 = 2(x^2 - 4x + 4) - 2 = 2x^2 - 8x + 8 - 2 = 2x^2 - 8x + 6 \; ✓$$0.

Exemple : $$2(x - 2)^2 - 2 = 2(x^2 - 4x + 4) - 2 = 2x^2 - 8x + 8 - 2 = 2x^2 - 8x + 6 \; ✓$$1

Le sommet est en $$2(x - 2)^2 - 2 = 2(x^2 - 4x + 4) - 2 = 2x^2 - 8x + 8 - 2 = 2x^2 - 8x + 6 \; ✓$$2 et $$2(x - 2)^2 - 2 = 2(x^2 - 4x + 4) - 2 = 2x^2 - 8x + 8 - 2 = 2x^2 - 8x + 6 \; ✓$$3.

Comme $$2(x - 2)^2 - 2 = 2(x^2 - 4x + 4) - 2 = 2x^2 - 8x + 8 - 2 = 2x^2 - 8x + 6 \; ✓$$4 et $$2(x - 2)^2 - 2 = 2(x^2 - 4x + 4) - 2 = 2x^2 - 8x + 8 - 2 = 2x^2 - 8x + 6 \; ✓$$5, la parabole coupe l'axe des $$2(x - 2)^2 - 2 = 2(x^2 - 4x + 4) - 2 = 2x^2 - 8x + 8 - 2 = 2x^2 - 8x + 6 \; ✓$$6 en deux points → deux solutions.

Cas 2 : Un seul point d'intersection

La parabole est tangente à l'axe des $$2(x - 2)^2 - 2 = 2(x^2 - 4x + 4) - 2 = 2x^2 - 8x + 8 - 2 = 2x^2 - 8x + 6 \; ✓$$7. L'équation a une solution double $$2(x - 2)^2 - 2 = 2(x^2 - 4x + 4) - 2 = 2x^2 - 8x + 8 - 2 = 2x^2 - 8x + 6 \; ✓$$8.

Exemple : $$2(x - 2)^2 - 2 = 2(x^2 - 4x + 4) - 2 = 2x^2 - 8x + 8 - 2 = 2x^2 - 8x + 6 \; ✓$$9

Le sommet est en $$\alpha = -\frac{6}{2 \times (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$$0, qui est sur l'axe des $$\alpha = -\frac{6}{2 \times (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$$1 → une solution double $$\alpha = -\frac{6}{2 \times (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$$2.

Cas 3 : Aucun point d'intersection

La parabole ne coupe pas l'axe des $$\alpha = -\frac{6}{2 \times (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$$3. L'équation n'a aucune solution réelle.

Exemple : $$\alpha = -\frac{6}{2 \times (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$$4

Le sommet est en $$\alpha = -\frac{6}{2 \times (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$$5. Comme $$\alpha = -\frac{6}{2 \times (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$$6 et $$\alpha = -\frac{6}{2 \times (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$$7, la parabole est entièrement au-dessus de l'axe des $$\alpha = -\frac{6}{2 \times (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$$8 → aucune solution.

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Lien entre les racines et la parabole

Si $$\alpha = -\frac{6}{2 \times (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$$9, alors :

• Les racines $$\beta = g(3) = -(3)^2 + 6 \times 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$$0 et $$\beta = g(3) = -(3)^2 + 6 \times 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$$1 sont les abscisses des points d'intersection avec l'axe des $$\beta = g(3) = -(3)^2 + 6 \times 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$$2.
• L'axe de symétrie passe par le milieu des deux racines :

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$3

Exemple : Pour $$\beta = g(3) = -(3)^2 + 6 \times 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$$3, les racines sont $$\beta = g(3) = -(3)^2 + 6 \times 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$$4 et $$\beta = g(3) = -(3)^2 + 6 \times 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$$5.

L'axe de symétrie est $$\beta = g(3) = -(3)^2 + 6 \times 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$$6, et le sommet est $$\beta = g(3) = -(3)^2 + 6 \times 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$$7.

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Exercices résolus

Exercice 1

Mettre $$\beta = g(3) = -(3)^2 + 6 \times 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$$8 sous forme canonique.

Solution :

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$4

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$5

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$6

Exercice 2

Sans calculer, combien de solutions a $$\beta = g(3) = -(3)^2 + 6 \times 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$$9 ?

Solution : On a $$f(x) = ax^2 + bx + c$$00 (parabole tournée vers le bas). Calculons $$f(x) = ax^2 + bx + c$$01 :

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$7

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$8

Comme $$f(x) = ax^2 + bx + c$$02 et $$f(x) = ax^2 + bx + c$$03, le sommet est en dessous de l'axe des $$f(x) = ax^2 + bx + c$$04 et la parabole est tournée vers le bas : la parabole est entièrement en dessous de l'axe des $$f(x) = ax^2 + bx + c$$05 → aucune solution.

Exercice 3

La parabole $$f(x) = ax^2 + bx + c$$06 coupe-t-elle l'axe des $$f(x) = ax^2 + bx + c$$07 ? Si oui, en quels points ?

Solution : Cherchons le sommet :
$$f(x) = ax^2 + bx + c$$9

Comme $$f(x) = ax^2 + bx + c$$08 et $$f(x) = ax^2 + bx + c$$09, la parabole coupe l'axe des $$f(x) = ax^2 + bx + c$$10 en deux points.

On factorise : $$f(x) = ax^2 + bx + c$$11 (on vérifie : $$f(x) = ax^2 + bx + c$$12 ✓).

Les solutions sont $$f(x) = ax^2 + bx + c$$13 et $$f(x) = ax^2 + bx + c$$14.