Systèmes d'équations linéaires
Droites dans le plan
Systèmes d'équations linéaires
Introduction
Un système de deux équations à deux inconnues est un ensemble de deux conditions que doivent vérifier simultanément les valeurs de $x$ et $y$. Résoudre un tel système, c'est trouver tous les couples $(x; y)$ solutions.
1. Forme générale
Un système linéaire de deux équations à deux inconnues s'écrit :
$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$$
Interprétation graphique : chaque équation représente une droite. Résoudre le système revient à trouver le(s) point(s) d'intersection des deux droites.
2. Trois cas possibles
| Cas | Droites | Nombre de solutions |
|---|---|---|
| 1 | Sécantes | Exactement une solution |
| 2 | Strictement parallèles | Aucune solution |
| 3 | Confondues | Infinité de solutions |
3. Méthode par substitution
Principe : on isole une inconnue dans l'une des équations, puis on remplace dans l'autre.
Exemple :
$$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -6 \end{cases}$$
Étape 1 : On isole $y$ dans la première équation :
$$y = 7 - 2x$$
Étape 2 : On remplace dans la seconde :
$$x - 3(7 - 2x) = -6$$
$$x - 21 + 6x = -6$$
$$7x = 15$$
$$x = \frac{15}{7}$$
Étape 3 : On calcule $y$ :
$$y = 7 - 2 \times \frac{15}{7} = 7 - \frac{30}{7} = \frac{49 - 30}{7} = \frac{19}{7}$$
Solution : $\left(\frac{15}{7}; \frac{19}{7}\right)$.
Conseil : la substitution est efficace quand un coefficient vaut $1$ ou $-1$.
4. Méthode par combinaison linéaire
Principe : on multiplie les équations par des coefficients choisis pour éliminer une inconnue lorsqu'on additionne les deux équations.
Exemple :
$$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases}$$
En additionnant membre à membre :
$$8x = 16 \implies x = 2$$
On remplace : $3(2) + 2y = 12 \implies 2y = 6 \implies y = 3$.
Solution : $(2; 3)$.
Autre exemple : si les coefficients ne s'annulent pas directement, on les ajuste.
$$\begin{cases} 2x + 3y = 1 \quad (L_1) \\ 5x + 4y = -2 \quad (L_2) \end{cases}$$
Pour éliminer $x$ : on calcule $5 \times (L_1) - 2 \times (L_2)$ :
$$10x + 15y - 10x - 8y = 5 - (-4)$$
$$7y = 9 \implies y = \frac{9}{7}$$
Puis on calcule $x$ en reportant.
5. Cas sans solution et cas d'infinité de solutions
Aucune solution
$$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases}$$
La seconde équation est $2 \times$ la première avec un second membre différent ($8 \neq 6$). Les droites sont parallèles et distinctes : le système est incompatible.
Infinité de solutions
$$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = 6 \end{cases}$$
La seconde équation est exactement $2 \times$ la première. Les droites sont confondues : tout point de la droite $x + 2y = 3$ est solution. Le système est dit indéterminé.
6. Mise en équation de problèmes
La résolution de systèmes est un outil puissant pour les problèmes concrets.
Exemple : Dans une boulangerie, 3 croissants et 2 pains au chocolat coûtent 5,30 €, tandis que 2 croissants et 5 pains au chocolat coûtent 8,50 €. Quel est le prix de chaque viennoiserie ?
On pose $x$ = prix d'un croissant, $y$ = prix d'un pain au chocolat :
$$\begin{cases} 3x + 2y = 5{,}30 \\ 2x + 5y = 8{,}50 \end{cases}$$
Par combinaison (multiplier $L_1$ par $5$ et $L_2$ par $-2$) :
$$15x + 10y - 4x - 10y = 26{,}50 - 17{,}00$$
$$11x = 9{,}50 \implies x \approx 0{,}86 \text{ €}$$
Puis $y = \frac{5{,}30 - 3(0{,}86)}{2} \approx 1{,}36 \text{ €}$.
7. Vérification des solutions
Il est essentiel de vérifier la solution en la substituant dans les deux équations du système. Cela permet de détecter les erreurs de calcul.
À retenir
- Un système $2 \times 2$ peut avoir une, zéro ou une infinité de solutions.
- Substitution : on isole une variable, on remplace dans l'autre équation.
- Combinaison linéaire : on multiplie les équations pour éliminer une inconnue.
- Graphiquement : une solution = point d'intersection de deux droites.
- Toujours vérifier la solution dans les deux équations.