Systèmes d'équations linéaires
Droites dans le plan
Systèmes d'équations linéaires
Introduction
Un système de deux équations à deux inconnues est un ensemble de deux conditions que doivent vérifier simultanément les valeurs de $$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -6 \end{cases}$$8 et $$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -6 \end{cases}$$9. Résoudre un tel système, c'est trouver tous les couples $$y = 7 - 2x$$0 solutions.
1. Forme générale
Un système linéaire de deux équations à deux inconnues s'écrit :
$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$$
Interprétation graphique : chaque équation représente une droite. Résoudre le système revient à trouver le(s) point(s) d'intersection des deux droites.
2. Trois cas possibles
| Cas | Droites | Nombre de solutions |
|---|---|---|
| 1 | Sécantes | Exactement une solution |
| 2 | Strictement parallèles | Aucune solution |
| 3 | Confondues | Infinité de solutions |
3. Méthode par substitution
Principe : on isole une inconnue dans l'une des équations, puis on remplace dans l'autre.
Exemple :
$$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -6 \end{cases}$$
Étape 1 : On isole $$y = 7 - 2x$$1 dans la première équation :
$$y = 7 - 2x$$
Étape 2 : On remplace dans la seconde :
$$x - 3(7 - 2x) = -6$$
$$x - 21 + 6x = -6$$
$$7x = 15$$
$$x = \frac{15}{7}$$
Étape 3 : On calcule $$y = 7 - 2x$$2 :
$$y = 7 - 2 \times \frac{15}{7} = 7 - \frac{30}{7} = \frac{49 - 30}{7} = \frac{19}{7}$$
Solution : $$y = 7 - 2x$$3.
Conseil : la substitution est efficace quand un coefficient vaut $$y = 7 - 2x$$4 ou $$y = 7 - 2x$$5.
4. Méthode par combinaison linéaire
Principe : on multiplie les équations par des coefficients choisis pour éliminer une inconnue lorsqu'on additionne les deux équations.
Exemple :
$$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases}$$
En additionnant membre à membre :
$$8x = 16 \implies x = 2$$
On remplace : $$y = 7 - 2x$$6.
Solution : $$y = 7 - 2x$$7.
Autre exemple : si les coefficients ne s'annulent pas directement, on les ajuste.
$$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -6 \end{cases}$$0
Pour éliminer $$y = 7 - 2x$$8 : on calcule $$y = 7 - 2x$$9 :
$$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -6 \end{cases}$$1
$$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -6 \end{cases}$$2
Puis on calcule $$x - 3(7 - 2x) = -6$$0 en reportant.
5. Cas sans solution et cas d'infinité de solutions
Aucune solution
$$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -6 \end{cases}$$3
La seconde équation est $$x - 3(7 - 2x) = -6$$1 la première avec un second membre différent ($$x - 3(7 - 2x) = -6$$2). Les droites sont parallèles et distinctes : le système est incompatible.
Infinité de solutions
$$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -6 \end{cases}$$4
La seconde équation est exactement $$x - 3(7 - 2x) = -6$$3 la première. Les droites sont confondues : tout point de la droite $$x - 3(7 - 2x) = -6$$4 est solution. Le système est dit indéterminé.
6. Mise en équation de problèmes
La résolution de systèmes est un outil puissant pour les problèmes concrets.
Exemple : Dans une boulangerie, 3 croissants et 2 pains au chocolat coûtent 5,30 €, tandis que 2 croissants et 5 pains au chocolat coûtent 8,50 €. Quel est le prix de chaque viennoiserie ?
On pose $$x - 3(7 - 2x) = -6$$5 = prix d'un croissant, $$x - 3(7 - 2x) = -6$$6 = prix d'un pain au chocolat :
$$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -6 \end{cases}$$5
Par combinaison (multiplier $$x - 3(7 - 2x) = -6$$7 par $$x - 3(7 - 2x) = -6$$8 et $$x - 3(7 - 2x) = -6$$9 par $$x - 21 + 6x = -6$$0) :
$$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -6 \end{cases}$$6
$$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -6 \end{cases}$$7
Puis $$x - 21 + 6x = -6$$1.
7. Vérification des solutions
Il est essentiel de vérifier la solution en la substituant dans les deux équations du système. Cela permet de détecter les erreurs de calcul.
À retenir
- Un système $$x - 21 + 6x = -6$$2 peut avoir une, zéro ou une infinité de solutions.
- Substitution : on isole une variable, on remplace dans l'autre équation.
- Combinaison linéaire : on multiplie les équations pour éliminer une inconnue.
- Graphiquement : une solution = point d'intersection de deux droites.
- Toujours vérifier la solution dans les deux équations.