Équations de droites

Introduction

Dans un repère du plan $(O; \vec{i}, \vec{j})$, toute droite peut être décrite par une équation reliant les coordonnées $(x; y)$ de ses points. Selon la situation, on utilise l'équation réduite ou l'équation cartésienne.

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1. Équation réduite d'une droite

Définition

Une droite non verticale admet une unique équation réduite de la forme :

$$y = ax + b$$

où :

• $$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$0 est le coefficient directeur (ou pente) de la droite,
• $$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$1 est l'ordonnée à l'origine (c'est-à-dire $$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$2 quand $$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$3).

Cas particulier : une droite verticale d'abscisse $$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$4 a pour équation $$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$5. Elle n'admet pas d'équation réduite.

Calcul de la pente

Si deux points $$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$6 et $$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$7 appartiennent à une droite non verticale (i.e. $$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$8), alors :

$$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$

Interprétation : la pente mesure l'inclinaison de la droite.

Valeur de $$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$9	Comportement
$$y - y_A = a(x - x_A)$$0	La droite « monte » (de gauche à droite)
$$y - y_A = a(x - x_A)$$1	La droite « descend »
$$y - y_A = a(x - x_A)$$2	La droite est horizontale ($$y - y_A = a(x - x_A)$$3)

Déterminer l'équation réduite

Méthode : connaissant un point $$y - y_A = a(x - x_A)$$4 et la pente $$y - y_A = a(x - x_A)$$5, on écrit :

$$y - y_A = a(x - x_A)$$

puis on développe pour obtenir la forme $$y - y_A = a(x - x_A)$$6.

Exemple : Trouver l'équation de la droite passant par $$y - y_A = a(x - x_A)$$7 de pente $$y - y_A = a(x - x_A)$$8.

$$y - 5 = -3(x - 2) \implies y = -3x + 6 + 5 \implies y = -3x + 11$$

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2. Équation cartésienne d'une droite

Définition

Toute droite du plan (y compris les droites verticales) admet une équation cartésienne :

$$\alpha x + \beta y + \gamma = 0 \qquad (\alpha; \beta) \neq (0; 0)$$

On note souvent les coefficients $$y - y_A = a(x - x_A)$$9, $$y - 5 = -3(x - 2) \implies y = -3x + 6 + 5 \implies y = -3x + 11$$0, $$y - 5 = -3(x - 2) \implies y = -3x + 6 + 5 \implies y = -3x + 11$$1 au lieu de $$y - 5 = -3(x - 2) \implies y = -3x + 6 + 5 \implies y = -3x + 11$$2, $$y - 5 = -3(x - 2) \implies y = -3x + 6 + 5 \implies y = -3x + 11$$3, $$y - 5 = -3(x - 2) \implies y = -3x + 6 + 5 \implies y = -3x + 11$$4. Attention à ne pas confondre le $$y - 5 = -3(x - 2) \implies y = -3x + 6 + 5 \implies y = -3x + 11$$5 de l'équation cartésienne avec la pente.

Passage d'une forme à l'autre

De …	Vers …	Méthode
$$y - 5 = -3(x - 2) \implies y = -3x + 6 + 5 \implies y = -3x + 11$$6	$$y - 5 = -3(x - 2) \implies y = -3x + 6 + 5 \implies y = -3x + 11$$7	$$y - 5 = -3(x - 2) \implies y = -3x + 6 + 5 \implies y = -3x + 11$$8
$$y - 5 = -3(x - 2) \implies y = -3x + 6 + 5 \implies y = -3x + 11$$9 ($$\alpha x + \beta y + \gamma = 0 \qquad (\alpha; \beta) \neq (0; 0)$$0)	$$\alpha x + \beta y + \gamma = 0 \qquad (\alpha; \beta) \neq (0; 0)$$1	$$\alpha x + \beta y + \gamma = 0 \qquad (\alpha; \beta) \neq (0; 0)$$2

Vecteur directeur et vecteur normal

Pour une droite d'équation $$\alpha x + \beta y + \gamma = 0 \qquad (\alpha; \beta) \neq (0; 0)$$3 :

• Un vecteur directeur est $$\alpha x + \beta y + \gamma = 0 \qquad (\alpha; \beta) \neq (0; 0)$$4.
• Un vecteur normal est $$\alpha x + \beta y + \gamma = 0 \qquad (\alpha; \beta) \neq (0; 0)$$5.

Le vecteur normal est perpendiculaire à la droite ; le vecteur directeur lui est parallèle.

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3. Positions relatives de deux droites

Soient deux droites $$\alpha x + \beta y + \gamma = 0 \qquad (\alpha; \beta) \neq (0; 0)$$6 et $$\alpha x + \beta y + \gamma = 0 \qquad (\alpha; \beta) \neq (0; 0)$$7.

Condition	Position relative
$$\alpha x + \beta y + \gamma = 0 \qquad (\alpha; \beta) \neq (0; 0)$$8 et $$\alpha x + \beta y + \gamma = 0 \qquad (\alpha; \beta) \neq (0; 0)$$9	Droites confondues
$$a_1 \times a_2 = -1$$0 et $$a_1 \times a_2 = -1$$1	Droites strictement parallèles
$$a_1 \times a_2 = -1$$2	Droites sécantes (un unique point d'intersection)

Cas de la perpendicularité

Deux droites non verticales de pentes $$a_1 \times a_2 = -1$$3 et $$a_1 \times a_2 = -1$$4 sont perpendiculaires si et seulement si :

$$a_1 \times a_2 = -1$$

Exemple : Si $$a_1 \times a_2 = -1$$5 a pour pente $$a_1 \times a_2 = -1$$6, toute droite perpendiculaire a pour pente $$a_1 \times a_2 = -1$$7.

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4. Droite passant par deux points

Connaissant $$a_1 \times a_2 = -1$$8 et $$a_1 \times a_2 = -1$$9 avec $$a = \frac{-6 - 3}{4 - 1} = \frac{-9}{3} = -3$$0 :

1. Calculer $$a = \frac{-6 - 3}{4 - 1} = \frac{-9}{3} = -3$$1
2. Utiliser $$a = \frac{-6 - 3}{4 - 1} = \frac{-9}{3} = -3$$2

Exemple : Droite passant par $$a = \frac{-6 - 3}{4 - 1} = \frac{-9}{3} = -3$$3 et $$a = \frac{-6 - 3}{4 - 1} = \frac{-9}{3} = -3$$4 :

$$a = \frac{-6 - 3}{4 - 1} = \frac{-9}{3} = -3$$

$$y - 3 = -3(x - 1) \implies y = -3x + 6$$

Si $$a = \frac{-6 - 3}{4 - 1} = \frac{-9}{3} = -3$$5, la droite est verticale : $$a = \frac{-6 - 3}{4 - 1} = \frac{-9}{3} = -3$$6.

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5. Intersection de deux droites (lecture graphique)

Graphiquement, le point d'intersection de deux droites sécantes se lit aux coordonnées du point commun. Algébriquement, on résout le système formé par les deux équations (voir leçon suivante).

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À retenir

• Une droite non verticale a une équation réduite $$a = \frac{-6 - 3}{4 - 1} = \frac{-9}{3} = -3$$7 (pente $$a = \frac{-6 - 3}{4 - 1} = \frac{-9}{3} = -3$$8, ordonnée à l'origine $$a = \frac{-6 - 3}{4 - 1} = \frac{-9}{3} = -3$$9).
• Une droite quelconque a une équation cartésienne $$y - 3 = -3(x - 1) \implies y = -3x + 6$$0.
• La pente entre deux points : $$y - 3 = -3(x - 1) \implies y = -3x + 6$$1.
• Deux droites sont parallèles ⟺ même pente ; perpendiculaires ⟺ $$y - 3 = -3(x - 1) \implies y = -3x + 6$$2.
• Un vecteur directeur de $$y - 3 = -3(x - 1) \implies y = -3x + 6$$3 est $$y - 3 = -3(x - 1) \implies y = -3x + 6$$4.