Équations trigonométriques

Résolution de $\cos x = \cos \alpha$

L'équation $\cos x = \cos\alpha$ a pour solutions :

$$\boxed{x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}}$$

Interprétation géométrique

Deux points du cercle trigonométrique ont la même abscisse (même cosinus) s'ils sont symétriques par rapport à l'axe $Ox$. Leurs angles sont $\alpha$ et $-\alpha$ (modulo $2\pi$).

Exemple

Résoudre $\cos x = \frac{1}{2}$.

On reconnaît $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, donc $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

$$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

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Résolution de $\sin x = \sin \alpha$

L'équation $\sin x = \sin\alpha$ a pour solutions :

$$\boxed{x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}}$$

Interprétation géométrique

Deux points du cercle trigonométrique ont la même ordonnée (même sinus) s'ils sont symétriques par rapport à l'axe $Oy$. Leurs angles sont $\alpha$ et $\pi - \alpha$ (modulo $2\pi$).

Exemple

Résoudre $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

On reconnaît $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, donc $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

$$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

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Résolution sur un intervalle donné

En pratique, on demande souvent les solutions dans un intervalle, typiquement $[0 ; 2\pi[$ ou $]-\pi ; \pi]$.

Méthode

1. Trouver les solutions générales (avec le paramètre $k \in \mathbb{Z}$).
2. Substituer les valeurs de $k$ ($0, 1, -1, 2, \ldots$) pour trouver celles qui tombent dans l'intervalle demandé.

Exemple

Résoudre $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ sur $[0 ; 2\pi[$.

On reconnaît $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, donc $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\alpha = \frac{5\pi}{6}$.

Solutions générales : $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$ ou $x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi$.

Sur $[0 ; 2\pi[$ :

• $k=0$ : $x = \frac{5\pi}{6}$ ✓ et $x = -\frac{5\pi}{6} \notin [0;2\pi[$ ✗
• $k=1$ pour la seconde : $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6}$ ✓

Solutions : $x \in \left\{\frac{5\pi}{6} ; \frac{7\pi}{6}\right\}$.

Exemple supplémentaire

Résoudre $\sin x = -\frac{1}{2}$ sur $[0 ; 2\pi[$.

On reconnaît $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, donc $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$ et $\alpha = -\frac{\pi}{6}$.

Solutions générales : $x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$ ou $x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$.

Sur $[0 ; 2\pi[$ :

• Pour la première famille : $k = 1$ donne $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$ ✓
• Pour la seconde famille : $k = 0$ donne $x = \frac{7\pi}{6}$ ✓

Solutions : $x \in \left\{\frac{7\pi}{6} ; \frac{11\pi}{6}\right\}$.

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Méthode systématique de résolution

Pour résoudre une équation trigonométrique :

1. Identifier le type : équation en cosinus ou en sinus.
2. Reconnaître la valeur : se ramener à une valeur remarquable ($0$, $\pm\frac{1}{2}$, $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\pm 1$).
3. Écrire les solutions générales avec le paramètre $k \in \mathbb{Z}$.
4. Sélectionner les solutions dans l'intervalle demandé en testant les valeurs de $k$.

Attention : ne pas oublier les deux familles de solutions. Une erreur classique est d'écrire une seule famille.

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Inéquations trigonométriques

Pour résoudre des inéquations comme $\cos x \geq \frac{1}{2}$ ou $\sin x < 0$, on s'aide du cercle trigonométrique :

1. Repérer les angles où l'égalité est atteinte.
2. Identifier l'arc du cercle vérifiant l'inégalité.
3. Écrire l'ensemble solution avec le paramètre $k$.

Exemple

Résoudre $\sin x \geq \frac{1}{2}$ sur $[0 ; 2\pi[$.

$\sin x = \frac{1}{2}$ pour $x = \frac{\pi}{6}$ et $x = \frac{5\pi}{6}$.

Sur le cercle, $\sin x \geq \frac{1}{2}$ pour les points situés au-dessus de la droite horizontale $y = \frac{1}{2}$, c'est-à-dire pour :

$$x \in \left[\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}\right]$$

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Exercice résolu

Énoncé : résoudre $2\cos^2 x - 1 = 0$ sur $[0 ; 2\pi[$.

Solution :

On isole $\cos^2 x$ : $\cos^2 x = \frac{1}{2}$, donc $\cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Cas 1 : $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. On reconnaît $\cos\frac{\pi}{4}$.

$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ ou $x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi$.

Sur $[0 ; 2\pi[$ : $x = \frac{\pi}{4}$ et $x = \frac{7\pi}{4}$.

Cas 2 : $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. On reconnaît $\cos\frac{3\pi}{4}$.

$x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$ ou $x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi$.

Sur $[0 ; 2\pi[$ : $x = \frac{3\pi}{4}$ et $x = \frac{5\pi}{4}$.

Solutions : $x \in \left\{\frac{\pi}{4} ; \frac{3\pi}{4} ; \frac{5\pi}{4} ; \frac{7\pi}{4}\right\}$.

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Formules d'addition (complément)

Même si elles sont surtout développées en Terminale, les formules d'addition peuvent apparaître en exercice :

$$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$
$$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$$

Application : $\cos\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}$

$$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$$

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À retenir

• $\cos x = \cos\alpha$ : $x = \pm \alpha + 2k\pi$.
• $\sin x = \sin\alpha$ : $x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = \pi - \alpha + 2k\pi$.
• Pour les solutions sur un intervalle, on fixe les valeurs de $k$.
• Pour les inéquations, on raisonne sur le cercle trigonométrique.