Équations trigonométriques

Résolution de $\cos x = \cos \alpha$

L'équation $\cos x = \cos\alpha$ a pour solutions :

$$\boxed{x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}}$$

Interprétation géométrique

Deux points du cercle trigonométrique ont la même abscisse (même cosinus) s'ils sont symétriques par rapport à l'axe $$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$0. Leurs angles sont $$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$1 et $$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$2 (modulo $$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$3).

Exemple

Résoudre $$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$4.

On reconnaît $$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$5, donc $$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$6.

$$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

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Résolution de $$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$7

L'équation $$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$8 a pour solutions :

$$\boxed{x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}}$$

Interprétation géométrique

Deux points du cercle trigonométrique ont la même ordonnée (même sinus) s'ils sont symétriques par rapport à l'axe $$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$9. Leurs angles sont $$\boxed{x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}}$$0 et $$\boxed{x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}}$$1 (modulo $$\boxed{x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}}$$2).

Exemple

Résoudre $$\boxed{x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}}$$3.

On reconnaît $$\boxed{x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}}$$4, donc $$\boxed{x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}}$$5.

$$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

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Résolution sur un intervalle donné

En pratique, on demande souvent les solutions dans un intervalle, typiquement $$\boxed{x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}}$$6 ou $$\boxed{x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}}$$7.

Méthode

1. Trouver les solutions générales (avec le paramètre $$\boxed{x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}}$$8).
2. Substituer les valeurs de $$\boxed{x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}}$$9 ($$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$0) pour trouver celles qui tombent dans l'intervalle demandé.

Exemple

Résoudre $$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$1 sur $$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$2.

On reconnaît $$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$3, donc $$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$4 et $$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$5.

Solutions générales : $$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$6 ou $$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$7.

Sur $$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$8 :

• $$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$9 : $$x \in \left[\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}\right]$$0 ✓ et $$x \in \left[\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}\right]$$1 ✗
• $$x \in \left[\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}\right]$$2 pour la seconde : $$x \in \left[\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}\right]$$3 ✓

Solutions : $$x \in \left[\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}\right]$$4.

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Inéquations trigonométriques

Pour résoudre des inéquations comme $$x \in \left[\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}\right]$$5 ou $$x \in \left[\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}\right]$$6, on s'aide du cercle trigonométrique :

1. Repérer les angles où l'égalité est atteinte.
2. Identifier l'arc du cercle vérifiant l'inégalité.
3. Écrire l'ensemble solution avec le paramètre $$x \in \left[\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}\right]$$7.

Exemple

Résoudre $$x \in \left[\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}\right]$$8 sur $$x \in \left[\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}\right]$$9.

$$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$0 pour $$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$1 et $$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$2.

Sur le cercle, $$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$3 pour les points situés au-dessus de la droite horizontale $$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$4, c'est-à-dire pour :

$$x \in \left[\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}\right]$$

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Formules d'addition (complément)

Même si elles sont surtout développées en Terminale, les formules d'addition peuvent apparaître en exercice :

$$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$
$$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$$

Application : $$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$5

$$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$$

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À retenir

• $$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$6 : $$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$7.
• $$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$8 : $$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$9 ou $$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$$0.
• Pour les solutions sur un intervalle, on fixe les valeurs de $$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$$1.
• Pour les inéquations, on raisonne sur le cercle trigonométrique.