Cosinus, sinus et valeurs remarquables
Trigonométrie
Cosinus, sinus et valeurs remarquables
Définition sur le cercle trigonométrique
Soit $M$ le point du cercle trigonométrique associé à l'angle $\theta$. Les coordonnées de $M$ sont :
$$M(\cos\theta \;; \sin\theta)$$
- $\cos\theta$ est l'abscisse de $M$ (projection sur l'axe horizontal).
- $\sin\theta$ est l'ordonnée de $M$ (projection sur l'axe vertical).
Valeurs remarquables
| $\theta$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cos\theta$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ |
| $\sin\theta$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ |
Astuce mnémotechnique : pour le cosinus, on retient la séquence $\frac{\sqrt{4}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{0}}{2}$ — et pour le sinus, c'est la séquence dans l'ordre inverse.
Identité fondamentale
Pour tout réel $\theta$ :
$$\boxed{\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1}$$
C'est la conséquence directe du fait que $M$ est sur le cercle de rayon 1.
Conséquences
- $-1 \leq \cos\theta \leq 1$ et $-1 \leq \sin\theta \leq 1$
- Si on connaît $\cos\theta$ et le quadrant, on peut en déduire $\sin\theta = \pm\sqrt{1-\cos^2\theta}$
Exemple d'utilisation de l'identité fondamentale
On sait que $\cos\theta = \frac{3}{5}$ et que $\theta \in \left]0 ; \frac{\pi}{2}\right[$ (premier quadrant).
Alors $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
Comme $\theta$ est dans le premier quadrant, $\sin\theta > 0$, donc $\sin\theta = \frac{4}{5}$.
Relations de symétrie
Ces formules traduisent les symétries du cercle trigonométrique :
Angle opposé ($-\theta$) — Symétrie par rapport à l'axe $Ox$
$$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$
Le cosinus est une fonction paire, le sinus est une fonction impaire.
Angle supplémentaire ($\pi - \theta$) — Symétrie par rapport à l'axe $Oy$
$$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$
Angle complémentaire à $\pi$ ($\pi + \theta$) — Symétrie par rapport à $O$
$$\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$$
Angle complémentaire à $\frac{\pi}{2}$ ($\frac{\pi}{2} - \theta$)
$$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$
Déphasage de $\frac{\pi}{2}$ ($\theta + \frac{\pi}{2}$)
$$\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta \qquad \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\theta$$
Méthode pour retrouver ces formules : on repère la symétrie correspondante sur le cercle trigonométrique (axe $Ox$, axe $Oy$, centre $O$) et on lit les coordonnées du point image.
Tableau récapitulatif
| Transformation | $\cos$ | $\sin$ |
|---|---|---|
| $-\theta$ | $\cos\theta$ | $-\sin\theta$ |
| $\pi - \theta$ | $-\cos\theta$ | $\sin\theta$ |
| $\pi + \theta$ | $-\cos\theta$ | $-\sin\theta$ |
| $\frac{\pi}{2} - \theta$ | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ |
| $\frac{\pi}{2} + \theta$ | $-\sin\theta$ | $\cos\theta$ |
Exemple d'utilisation
Calculer $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)$ et $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)$.
On écrit $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$.
D'après les formules de l'angle supplémentaire :
$$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$
Exemple 2 : calculer $\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)$
On écrit $\frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}$.
D'après les formules de l'angle $\pi + \theta$ :
$$\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$$
$$\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Le point $M\left(\frac{4\pi}{3}\right)$ est dans le troisième quadrant : cosinus et sinus sont tous deux négatifs.
Lecture graphique sur le cercle
Pour déterminer le signe de $\cos\theta$ et $\sin\theta$, on repère le quadrant :
| Quadrant | Angle $\theta$ | $\cos\theta$ | $\sin\theta$ |
|---|---|---|---|
| I | $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ | $+$ | $+$ |
| II | $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ | $-$ | $+$ |
| III | $\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$ | $-$ | $-$ |
| IV | $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$ | $+$ | $-$ |
Ce tableau est indispensable pour lever l'ambiguïté du signe lorsqu'on utilise l'identité fondamentale.
Exercice résolu
Énoncé : sachant que $\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\theta \in \left]\pi ; \frac{3\pi}{2}\right[$, déterminer $\cos\theta$.
Solution :
Par l'identité fondamentale : $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Donc $\cos\theta = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Or $\theta \in \left]\pi ; \frac{3\pi}{2}\right[$ (troisième quadrant), donc $\cos\theta < 0$.
Conclusion : $\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
L'angle correspondant est $\theta = \frac{5\pi}{4}$ (on vérifie : $\cos\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$).
Méthode : pour tout exercice du type « connaissant $\cos\theta$ (ou $\sin\theta$) et le quadrant, trouver l'autre », on applique toujours les mêmes étapes : identité fondamentale → deux valeurs possibles → le quadrant tranche.
À retenir
- $\cos\theta$ = abscisse, $\sin\theta$ = ordonnée du point $M$ sur le cercle trigonométrique.
- Identité fondamentale : $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$.
- Connaître les valeurs remarquables pour $0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$.
- Maîtriser les formules de symétrie pour se ramener aux angles du premier quadrant.
- Connaître le signe de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ dans chaque quadrant.
- L'identité fondamentale permet de trouver l'une des deux valeurs connaissant l'autre et le quadrant.