Cosinus, sinus et valeurs remarquables
Trigonométrie
Cosinus, sinus et valeurs remarquables
Définition sur le cercle trigonométrique
Soit $M$ le point du cercle trigonométrique associé à l'angle $$\boxed{\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1}$$0. Les coordonnées de $$\boxed{\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1}$$1 sont :
$$M(\cos\theta \;; \sin\theta)$$
- $$\boxed{\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1}$$2 est l'abscisse de $$\boxed{\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1}$$3 (projection sur l'axe horizontal).
- $$\boxed{\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1}$$4 est l'ordonnée de $$\boxed{\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1}$$5 (projection sur l'axe vertical).
Valeurs remarquables
| $$\boxed{\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1}$$6 | $$\boxed{\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1}$$7 | $$\boxed{\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1}$$8 | $$\boxed{\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1}$$9 | $$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$0 | $$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$1 | $$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$3 | $$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$4 | $$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$5 | $$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$6 | $$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$7 | $$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$8 | $$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$9 |
| $$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$0 | $$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$1 | $$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$2 | $$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$3 | $$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$4 | $$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$5 | $$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$6 |
Astuce mnémotechnique : pour le cosinus, on retient la séquence $$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$7 — et pour le sinus, c'est la séquence dans l'ordre inverse.
Identité fondamentale
Pour tout réel $$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$8 :
$$\boxed{\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1}$$
C'est la conséquence directe du fait que $$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$9 est sur le cercle de rayon 1.
Conséquences
- $$\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$$0 et $$\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$$1
- Si on connaît $$\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$$2 et le quadrant, on peut en déduire $$\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$$3
Relations de symétrie
Ces formules traduisent les symétries du cercle trigonométrique :
Angle opposé ($$\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$$4) — Symétrie par rapport à l'axe $$\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$$5
$$\cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$
Le cosinus est une fonction paire, le sinus est une fonction impaire.
Angle supplémentaire ($$\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$$6) — Symétrie par rapport à l'axe $$\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$$7
$$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$
Angle complémentaire à $$\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$$8 ($$\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$$9) — Symétrie par rapport à $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$0
$$\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$$
Angle complémentaire à $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$1 ($$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$2)
$$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$
Déphasage de $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$3 ($$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$4)
$$\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta \qquad \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\theta$$
Tableau récapitulatif
| Transformation | $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$5 | $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$6 |
|---|---|---|
| $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$7 | $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$8 | $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$9 |
| $$\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta \qquad \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\theta$$0 | $$\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta \qquad \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\theta$$1 | $$\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta \qquad \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\theta$$2 |
| $$\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta \qquad \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\theta$$3 | $$\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta \qquad \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\theta$$4 | $$\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta \qquad \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\theta$$5 |
| $$\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta \qquad \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\theta$$6 | $$\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta \qquad \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\theta$$7 | $$\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta \qquad \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\theta$$8 |
| $$\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta \qquad \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\theta$$9 | $$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$0 | $$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$1 |
Exemple d'utilisation
Calculer $$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$2 et $$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$3.
On écrit $$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$4.
D'après les formules de l'angle supplémentaire :
$$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$
À retenir
- $$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$5 = abscisse, $$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$6 = ordonnée du point $$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$7 sur le cercle trigonométrique.
- Identité fondamentale : $$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$8.
- Connaître les valeurs remarquables pour $$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$9, $$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$0, $$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$1, $$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$2, $$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$3.
- Maîtriser les formules de symétrie pour se ramener aux angles du premier quadrant.