Angles orientés et radian

Le radian

Pourquoi une nouvelle unité ?

Le degré (°) est pratique dans la vie courante, mais en mathématiques et en physique, le radian est l'unité naturelle pour mesurer les angles. Il simplifie de nombreuses formules (dérivation de sin et cos, longueur d'arc, etc.).

Définition

Un radian est la mesure de l'angle au centre qui intercepte un arc de longueur égale au rayon du cercle.

Sur un cercle de rayon $r$, un angle de $\theta$ radians intercepte un arc de longueur :

$$\ell = r \cdot \theta$$

Pour un tour complet : $\ell = 2\pi r$, donc l'angle est $\frac{2\pi r}{r} = 2\pi$ rad.

Correspondance degrés ↔ radians

$$\pi \text{ rad} = 180°$$

Pour convertir :

• Degrés → radians : $\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180}$
• Radians → degrés : $\theta_{\text{deg}} = \theta_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi}$

Valeurs à connaître

Degrés	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$120°$	$135°$	$150°$	$180°$	$360°$
Radians	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\pi$	$2\pi$

Exemples de conversion

• $150° = 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$ rad
• $270° = 270 \times \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{2}$ rad
• $\frac{7\pi}{4}$ rad $= \frac{7\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = 315°$

Astuce : pour les angles « classiques », on divise le nombre de degrés par 30. Si le résultat est entier, le dénominateur sera 6 ; s'il tombe sur un demi-entier, le dénominateur sera 4.

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Le cercle trigonométrique

Définition

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$, de rayon $1$, muni d'un sens de parcours (le sens trigonométrique = sens inverse des aiguilles d'une montre).

Enroulement de la droite des réels

À chaque nombre réel $\theta$, on associe un unique point $M$ du cercle trigonométrique, obtenu en « enroulant » la droite des réels autour du cercle :

• On part du point $A(1 ; 0)$.
• On parcourt un arc de longueur $|\theta|$ dans le sens direct si $\theta > 0$, dans le sens indirect si $\theta < 0$.
• On arrive au point $M$ associé à $\theta$.

Mesure principale

Tout réel $\theta$ peut s'écrire sous la forme :

$$\theta = \theta_0 + 2k\pi \qquad \text{avec } k \in \mathbb{Z} \text{ et } \theta_0 \in ]-\pi ; \pi]$$

Le nombre $\theta_0$ est la mesure principale de l'angle.

Exemple : $\frac{13\pi}{4} = \frac{13\pi}{4} - 2\pi = \frac{13\pi - 8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$. Comme $\frac{5\pi}{4} > \pi$, on soustrait encore $2\pi$ : $\frac{5\pi}{4} - 2\pi = -\frac{3\pi}{4}$.

Mesure principale : $-\frac{3\pi}{4}$.

Déterminer la mesure principale : méthode

1. Diviser l'angle par $2\pi$ (ou $\pi$) pour évaluer combien de tours soustraire.
2. Soustraire (ou ajouter) des multiples de $2\pi$ jusqu'à obtenir un résultat dans $]-\pi ; \pi]$.

Exemple supplémentaire : trouver la mesure principale de $\frac{17\pi}{6}$.

$\frac{17\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6}$. On soustrait $2\pi$ : $\frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{17\pi - 12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Comme $\frac{5\pi}{6} \in ]-\pi ; \pi]$, la mesure principale est $\frac{5\pi}{6}$.

Exemple avec un angle négatif : trouver la mesure principale de $-\frac{11\pi}{4}$.

$-\frac{11\pi}{4} + 2\pi = -\frac{11\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$.

Comme $-\frac{3\pi}{4} \in ]-\pi ; \pi]$, la mesure principale est $-\frac{3\pi}{4}$.

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Angles orientés de vecteurs

Définition

L'angle orienté de deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est la mesure (en radians) de la rotation qui amène la direction de $\vec{u}$ sur celle de $\vec{v}$.

On le note $(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$ et il est défini modulo $2\pi$ :

$$(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \theta + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Propriétés

• $(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = -(\widehat{\vec{v}, \vec{u}}) \pmod{2\pi}$
• $(\widehat{\vec{u}, \vec{w}}) = (\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) + (\widehat{\vec{v}, \vec{w}}) \pmod{2\pi}$ (relation de Chasles)

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Exercice résolu

Énoncé : convertir les angles suivants et déterminer les mesures principales.

1. Convertir $210°$ en radians.
2. Déterminer la mesure principale de $\frac{25\pi}{6}$.
3. Sur un cercle de rayon $3$ cm, calculer la longueur de l'arc intercepté par un angle de $\frac{2\pi}{3}$ rad.

Solution :

1. $210° = 210 \times \frac{\pi}{180} = \frac{210\pi}{180} = \frac{7\pi}{6}$ rad.

2. $\frac{25\pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6}$. On soustrait $4\pi = 2 \times 2\pi$ : la mesure principale est $\frac{\pi}{6}$.

3. $\ell = r\theta = 3 \times \frac{2\pi}{3} = 2\pi \approx 6{,}28$ cm.

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Points remarquables du cercle trigonométrique

Les points les plus fréquemment utilisés sur le cercle trigonométrique sont :

• $0$ rad → point $(1 ; 0)$ : droite de l'axe horizontal
• $\frac{\pi}{2}$ rad → point $(0 ; 1)$ : sommet du cercle
• $\pi$ rad → point $(-1 ; 0)$ : gauche de l'axe horizontal
• $\frac{3\pi}{2}$ rad ou $-\frac{\pi}{2}$ rad → point $(0 ; -1)$ : bas du cercle

Ces quatre points délimitent les quatre quadrants du plan.

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À retenir

• Le radian est défini par : un angle de 1 rad intercepte un arc de longueur égale au rayon.
• $\pi$ rad $= 180°$. Conversion : multiplier par $\frac{\pi}{180}$ ou $\frac{180}{\pi}$.
• Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$, rayon $1$, orienté dans le sens direct.
• Tout angle admet une unique mesure principale dans $]-\pi ; \pi]$.