Angles orientés et radian
Trigonométrie
Angles orientés et radian
Le radian
Pourquoi une nouvelle unité ?
Le degré (°) est pratique dans la vie courante, mais en mathématiques et en physique, le radian est l'unité naturelle pour mesurer les angles. Il simplifie de nombreuses formules (dérivation de sin et cos, longueur d'arc, etc.).
Définition
Un radian est la mesure de l'angle au centre qui intercepte un arc de longueur égale au rayon du cercle.
Sur un cercle de rayon $r$, un angle de $\theta$ radians intercepte un arc de longueur :
$$\ell = r \cdot \theta$$
Pour un tour complet : $\ell = 2\pi r$, donc l'angle est $\frac{2\pi r}{r} = 2\pi$ rad.
Correspondance degrés ↔ radians
$$\pi \text{ rad} = 180°$$
Pour convertir :
- Degrés → radians : $\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180}$
- Radians → degrés : $\theta_{\text{deg}} = \theta_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi}$
Valeurs à connaître
| Degrés | $$\pi \text{ rad} = 180°$$0 | $$\pi \text{ rad} = 180°$$1 | $$\pi \text{ rad} = 180°$$2 | $$\pi \text{ rad} = 180°$$3 | $$\pi \text{ rad} = 180°$$4 | $$\pi \text{ rad} = 180°$$5 | $$\pi \text{ rad} = 180°$$6 | $$\pi \text{ rad} = 180°$$7 | $$\pi \text{ rad} = 180°$$8 | $$\pi \text{ rad} = 180°$$9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | $$\theta = \theta_0 + 2k\pi \qquad \text{avec } k \in \mathbb{Z} \text{ et } \theta_0 \in ]-\pi ; \pi]$$0 | $$\theta = \theta_0 + 2k\pi \qquad \text{avec } k \in \mathbb{Z} \text{ et } \theta_0 \in ]-\pi ; \pi]$$1 | $$\theta = \theta_0 + 2k\pi \qquad \text{avec } k \in \mathbb{Z} \text{ et } \theta_0 \in ]-\pi ; \pi]$$2 | $$\theta = \theta_0 + 2k\pi \qquad \text{avec } k \in \mathbb{Z} \text{ et } \theta_0 \in ]-\pi ; \pi]$$3 | $$\theta = \theta_0 + 2k\pi \qquad \text{avec } k \in \mathbb{Z} \text{ et } \theta_0 \in ]-\pi ; \pi]$$4 | $$\theta = \theta_0 + 2k\pi \qquad \text{avec } k \in \mathbb{Z} \text{ et } \theta_0 \in ]-\pi ; \pi]$$5 | $$\theta = \theta_0 + 2k\pi \qquad \text{avec } k \in \mathbb{Z} \text{ et } \theta_0 \in ]-\pi ; \pi]$$6 | $$\theta = \theta_0 + 2k\pi \qquad \text{avec } k \in \mathbb{Z} \text{ et } \theta_0 \in ]-\pi ; \pi]$$7 | $$\theta = \theta_0 + 2k\pi \qquad \text{avec } k \in \mathbb{Z} \text{ et } \theta_0 \in ]-\pi ; \pi]$$8 | $$\theta = \theta_0 + 2k\pi \qquad \text{avec } k \in \mathbb{Z} \text{ et } \theta_0 \in ]-\pi ; \pi]$$9 |
Le cercle trigonométrique
Définition
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $$(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \theta + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$0, de rayon $$(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \theta + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$1, muni d'un sens de parcours (le sens trigonométrique = sens inverse des aiguilles d'une montre).
Enroulement de la droite des réels
À chaque nombre réel $$(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \theta + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$2, on associe un unique point $$(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \theta + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$3 du cercle trigonométrique, obtenu en « enroulant » la droite des réels autour du cercle :
- On part du point $$(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \theta + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$4.
- On parcourt un arc de longueur $$(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \theta + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$5 dans le sens direct si $$(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \theta + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$6, dans le sens indirect si $$(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \theta + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$7.
- On arrive au point $$(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \theta + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$8 associé à $$(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \theta + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$9.
Mesure principale
Tout réel $r$0 peut s'écrire sous la forme :
$$\theta = \theta_0 + 2k\pi \qquad \text{avec } k \in \mathbb{Z} \text{ et } \theta_0 \in ]-\pi ; \pi]$$
Le nombre $r$1 est la mesure principale de l'angle.
Exemple : $r$2. Comme $r$3, on soustrait encore $r$4 : $r$5.
Mesure principale : $r$6.
Angles orientés de vecteurs
Définition
L'angle orienté de deux vecteurs non nuls $r$7 et $r$8 est la mesure (en radians) de la rotation qui amène la direction de $r$9 sur celle de $\theta$0.
On le note $\theta$1 et il est défini modulo $\theta$2 :
$$(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \theta + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$
Propriétés
- $\theta$3
- $\theta$4 (relation de Chasles)
À retenir
- Le radian est défini par : un angle de 1 rad intercepte un arc de longueur égale au rayon.
- $\theta$5 rad $\theta$6. Conversion : multiplier par $\theta$7 ou $\theta$8.
- Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $\theta$9, rayon $\ell = 2\pi r$0, orienté dans le sens direct.
- Tout angle admet une unique mesure principale dans $\ell = 2\pi r$1.