Suites récurrentes et suite de Fibonacci

Suites arithmético-géométriques

Définition

Une suite arithmético-géométrique est définie par une relation de la forme :

$$u_{n+1} = au_n + b \qquad (a \neq 0,\; a \neq 1,\; b \neq 0)$$

avec un terme initial $u_0$ donné.

C'est un mélange de suite arithmétique (le « $+ b$ ») et géométrique (le « $a \times$ »).

Recherche du point fixe

On cherche la valeur $\ell$ telle que $\ell = a\ell + b$, c'est-à-dire :

$$\ell = \frac{b}{1-a}$$

Suite auxiliaire géométrique

On pose $v_n = u_n - \ell$. Alors :

$$v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = (au_n + b) - \ell = a(u_n - \ell) = a \cdot v_n$$

La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $a$ et de premier terme $v_0 = u_0 - \ell$.

Donc :

$$v_n = (u_0 - \ell) \cdot a^n$$

Et finalement :

$$u_n = \ell + (u_0 - \ell) \cdot a^n$$

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Exemple

Soit $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = 0{,}5 u_n + 3$.

• Point fixe : $\ell = \frac{3}{1-0{,}5} = 6$
• $v_n = u_n - 6$, $v_0 = 4$, $v_{n+1} = 0{,}5 v_n$ → suite géométrique de raison $0{,}5$
• $v_n = 4 \times 0{,}5^n$
• $u_n = 6 + 4 \times 0{,}5^n$

On vérifie : $u_0 = 6 + 4 = 10$ ✓, $u_1 = 6 + 2 = 8$ ✓ (car $0{,}5 \times 10 + 3 = 8$).

Comme $0 < 0{,}5 < 1$, la suite $(u_n)$ converge vers $\ell = 6$.

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La suite de Fibonacci

Définition

La suite de Fibonacci $(F_n)$ est définie par :

$$\begin{cases} F_0 = 1,\; F_1 = 1 \\ F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \text{ pour tout } n \geq 0 \end{cases}$$

Les premiers termes sont :

$$1,\; 1,\; 2,\; 3,\; 5,\; 8,\; 13,\; 21,\; 34,\; 55,\; 89,\; 144,\; \ldots$$

Chaque terme est la somme des deux précédents.

Le nombre d'or

En calculant les rapports successifs $\frac{F_{n+1}}{F_n}$, on constate qu'ils se rapprochent d'une constante, le nombre d'or :

$$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$$

Le nombre d'or vérifie l'équation $\varphi^2 = \varphi + 1$, soit $\varphi^2 - \varphi - 1 = 0$.

Formule de Binet

Il existe une formule explicite (admise en Première) :

$$F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$$

où $\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0{,}618$ est l'autre racine de $x^2 - x - 1 = 0$.

Fibonacci dans la nature

La suite de Fibonacci apparaît dans de nombreux phénomènes naturels :

• Le nombre de pétales de certaines fleurs (3, 5, 8, 13, 21…)
• La disposition des graines dans un tournesol (spirales en nombres de Fibonacci)
• La croissance de la population de lapins (modèle idéalisé)
• La disposition des feuilles sur une tige (phyllotaxie)

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Calcul algorithmique des termes d'une suite récurrente

Pour calculer les termes d'une suite définie par récurrence, on utilise une boucle :

Algorithme : calcul de u_n
Entrée : u_0, n
u ← u_0
Pour k allant de 1 à n :
    u ← f(u)    // f est la relation de récurrence
Afficher u

Remarque : cet algorithme s'applique quelle que soit la relation de récurrence (arithmético-géométrique, Fibonacci en adaptant pour deux termes, etc.).

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Exercice résolu — Suite arithmético-géométrique complète

Énoncé : On considère la suite définie par $u_0 = 50$ et $u_{n+1} = 0{,}6 u_n + 8$. Déterminer $u_n$ en fonction de $n$ et la limite.

Solution :

1. Point fixe : $\ell = \frac{8}{1 - 0{,}6} = \frac{8}{0{,}4} = 20$.
2. On pose $v_n = u_n - 20$. Alors $v_{n+1} = 0{,}6 v_n$.
3. $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}6$ et $v_0 = 50 - 20 = 30$.
4. $v_n = 30 \times 0{,}6^n$.
5. $u_n = 20 + 30 \times 0{,}6^n$.

Vérification : $u_1 = 0{,}6 \times 50 + 8 = 38$ et $20 + 30 \times 0{,}6 = 20 + 18 = 38$ ✓

Comme $|0{,}6| < 1$, $0{,}6^n \to 0$ et la suite converge vers $\ell = 20$.

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Propriétés complémentaires de la suite de Fibonacci

Somme des $n$ premiers termes : $F_0 + F_1 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$

Vérification pour $n = 4$ : $1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12$ et $F_6 - 1 = 13 - 1 = 12$ ✓

Somme des carrés : $F_0^2 + F_1^2 + \cdots + F_n^2 = F_n \times F_{n+1}$

Vérification pour $n = 3$ : $1 + 1 + 4 + 9 = 15$ et $F_3 \times F_4 = 3 \times 5 = 15$ ✓

Identité de Cassini : $F_{n-1} \times F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^n$

Ces propriétés, bien que non exigibles, illustrent la richesse mathématique de cette suite.

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Applications concrètes

• Modèle de population : une population animale avec $u_{n+1} = 1{,}2 u_n - 100$ (croissance naturelle moins prélèvement) se modélise par une suite arithmético-géométrique.
• Pharmacologie : la concentration d'un médicament suit souvent une loi de type $C_{n+1} = a C_n + D$ (élimination partielle + nouvelle dose $D$).
• Croissance économique : un PIB qui croît d'un pourcentage fixe correspond à une suite géométrique.

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À retenir

• Une suite arithmético-géométrique $u_{n+1} = au_n + b$ se résout en trouvant le point fixe $\ell = \frac{b}{1-a}$ et en posant $v_n = u_n - \ell$.
• La suite de Fibonacci : $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$. Les rapports successifs tendent vers le nombre d'or $\varphi \approx 1{,}618$.
• Les suites récurrentes se calculent efficacement par algorithme itératif.