Suites récurrentes et suite de Fibonacci
Suites numériques
Suites récurrentes et suite de Fibonacci
Suites arithmético-géométriques
Définition
Une suite arithmético-géométrique est définie par une relation de la forme :
$$u_{n+1} = au_n + b \qquad (a \neq 0,\; a \neq 1,\; b \neq 0)$$
avec un terme initial $u_0$ donné.
C'est un mélange de suite arithmétique (le « $$\ell = \frac{b}{1-a}$$0 ») et géométrique (le « $$\ell = \frac{b}{1-a}$$1 »).
Recherche du point fixe
On cherche la valeur $$\ell = \frac{b}{1-a}$$2 telle que $$\ell = \frac{b}{1-a}$$3, c'est-à-dire :
$$\ell = \frac{b}{1-a}$$
Suite auxiliaire géométrique
On pose $$\ell = \frac{b}{1-a}$$4. Alors :
$$v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = (au_n + b) - \ell = a(u_n - \ell) = a \cdot v_n$$
La suite $$\ell = \frac{b}{1-a}$$5 est géométrique de raison $$\ell = \frac{b}{1-a}$$6 et de premier terme $$\ell = \frac{b}{1-a}$$7.
Donc :
$$v_n = (u_0 - \ell) \cdot a^n$$
Et finalement :
$$u_n = \ell + (u_0 - \ell) \cdot a^n$$
Exemple
Soit $$\ell = \frac{b}{1-a}$$8 et $$\ell = \frac{b}{1-a}$$9.
- Point fixe : $$v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = (au_n + b) - \ell = a(u_n - \ell) = a \cdot v_n$$0
- $$v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = (au_n + b) - \ell = a(u_n - \ell) = a \cdot v_n$$1, $$v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = (au_n + b) - \ell = a(u_n - \ell) = a \cdot v_n$$2, $$v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = (au_n + b) - \ell = a(u_n - \ell) = a \cdot v_n$$3 → suite géométrique de raison $$v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = (au_n + b) - \ell = a(u_n - \ell) = a \cdot v_n$$4
- $$v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = (au_n + b) - \ell = a(u_n - \ell) = a \cdot v_n$$5
- $$v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = (au_n + b) - \ell = a(u_n - \ell) = a \cdot v_n$$6
On vérifie : $$v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = (au_n + b) - \ell = a(u_n - \ell) = a \cdot v_n$$7 ✓, $$v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = (au_n + b) - \ell = a(u_n - \ell) = a \cdot v_n$$8 ✓ (car $$v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = (au_n + b) - \ell = a(u_n - \ell) = a \cdot v_n$$9).
Comme $$v_n = (u_0 - \ell) \cdot a^n$$0, la suite $$v_n = (u_0 - \ell) \cdot a^n$$1 converge vers $$v_n = (u_0 - \ell) \cdot a^n$$2.
La suite de Fibonacci
Définition
La suite de Fibonacci $$v_n = (u_0 - \ell) \cdot a^n$$3 est définie par :
$$\begin{cases} F_0 = 1,\; F_1 = 1 \\ F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \text{ pour tout } n \geq 0 \end{cases}$$
Les premiers termes sont :
$$1,\; 1,\; 2,\; 3,\; 5,\; 8,\; 13,\; 21,\; 34,\; 55,\; 89,\; 144,\; \ldots$$
Chaque terme est la somme des deux précédents.
Le nombre d'or
En calculant les rapports successifs $$v_n = (u_0 - \ell) \cdot a^n$$4, on constate qu'ils se rapprochent d'une constante, le nombre d'or :
$$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$$
Le nombre d'or vérifie l'équation $$v_n = (u_0 - \ell) \cdot a^n$$5, soit $$v_n = (u_0 - \ell) \cdot a^n$$6.
Formule de Binet
Il existe une formule explicite (admise en Première) :
$$F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$$
où $$v_n = (u_0 - \ell) \cdot a^n$$7 est l'autre racine de $$v_n = (u_0 - \ell) \cdot a^n$$8.
Fibonacci dans la nature
La suite de Fibonacci apparaît dans de nombreux phénomènes naturels :
- Le nombre de pétales de certaines fleurs (3, 5, 8, 13, 21…)
- La disposition des graines dans un tournesol (spirales en nombres de Fibonacci)
- La croissance de la population de lapins (modèle idéalisé)
- La disposition des feuilles sur une tige (phyllotaxie)
Calcul algorithmique des termes d'une suite récurrente
Pour calculer les termes d'une suite définie par récurrence, on utilise une boucle :
Algorithme : calcul de u_n
Entrée : u_0, n
u ← u_0
Pour k allant de 1 à n :
u ← f(u) // f est la relation de récurrence
Afficher u
Remarque : cet algorithme s'applique quelle que soit la relation de récurrence (arithmético-géométrique, Fibonacci en adaptant pour deux termes, etc.).
À retenir
- Une suite arithmético-géométrique $$v_n = (u_0 - \ell) \cdot a^n$$9 se résout en trouvant le point fixe $$u_n = \ell + (u_0 - \ell) \cdot a^n$$0 et en posant $$u_n = \ell + (u_0 - \ell) \cdot a^n$$1.
- La suite de Fibonacci : $$u_n = \ell + (u_0 - \ell) \cdot a^n$$2. Les rapports successifs tendent vers le nombre d'or $$u_n = \ell + (u_0 - \ell) \cdot a^n$$3.
- Les suites récurrentes se calculent efficacement par algorithme itératif.