Suites arithmétiques et géométriques

Les suites arithmétiques

Définition

Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si pour tout entier $n$ :

$$u_{n+1} = u_n + r$$

Chaque terme s'obtient en ajoutant la raison $r$ au terme précédent.

Formule du terme général

$$u_n = u_0 + nr$$

Plus généralement, pour tout entier $p$ :

$$u_n = u_p + (n - p)r$$

Sens de variation

• Si $r > 0$ : la suite est strictement croissante.
• Si $r < 0$ : la suite est strictement décroissante.
• Si $r = 0$ : la suite est constante.

Somme des termes consécutifs

La somme des $(n+1)$ premiers termes (de $u_0$ à $u_n$) est :

$$S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}$$

Moyen mnémotechnique : nombre de termes × moyenne du premier et du dernier terme.

Cas particulier — Somme des $n$ premiers entiers :

$$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$

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Exemple

Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $r = 4$.

• $u_n = 3 + 4n$
• $u_{10} = 3 + 40 = 43$
• $S_{10} = 11 \times \frac{3 + 43}{2} = 11 \times 23 = 253$

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Les suites géométriques

Définition

Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si pour tout entier $n$ :

$$u_{n+1} = q \cdot u_n$$

Chaque terme s'obtient en multipliant le terme précédent par la raison $q$.

Formule du terme général

$$u_n = u_0 \cdot q^n$$

Plus généralement, pour tout entier $p$ :

$$u_n = u_p \cdot q^{n-p}$$

Sens de variation (pour $u_0 > 0$)

Condition	Variation
$q > 1$	Strictement croissante
$0 < q < 1$	Strictement décroissante
$q = 1$	Constante
$q < 0$	Ni croissante ni décroissante (termes alternés)

Somme des termes consécutifs

Pour $q \neq 1$, la somme des $(n+1)$ premiers termes est :

$$S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \cdot \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$

Cas particulier :

$$1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$

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Exemple

Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $q = 2$.

• $u_n = 5 \times 2^n$
• $u_6 = 5 \times 64 = 320$
• $S_6 = 5 \times \frac{1 - 2^7}{1 - 2} = 5 \times \frac{-127}{-1} = 635$

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Comment reconnaître le type d'une suite ?

Test	Suite arithmétique	Suite géométrique
Critère	$u_{n+1} - u_n = r$ (constant)	$\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$ (constant, $u_n \neq 0$)
Représentation	Points alignés	Croissance/décroissance exponentielle
Formule explicite	$u_n = u_0 + nr$ (linéaire en $n$)	$u_n = u_0 q^n$ (exponentielle en $n$)

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Modélisation

• Suite arithmétique : situation d'augmentation (ou diminution) d'une quantité fixe à chaque étape. Exemples : salaire augmenté de 50 € par mois, nombre de pages lues chaque jour constant.

• Suite géométrique : situation de croissance (ou décroissance) proportionnelle. Exemples : population doublant chaque génération, capital augmentant d'un taux fixe, désintégration radioactive.

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Application — Placement financier

Un épargnant place 1 000 € à un taux annuel de 3%. Le capital au bout de $n$ années est :

$$C_n = 1000 \times 1{,}03^n$$

C'est une suite géométrique de raison $q = 1{,}03$.

• Au bout de 10 ans : $C_{10} = 1000 \times 1{,}03^{10} \approx 1344$ €.
• Au bout de 20 ans : $C_{20} = 1000 \times 1{,}03^{20} \approx 1806$ €.

L'intérêt composé produit une croissance exponentielle du capital, même avec un taux modeste.

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Exercice résolu — Calcul de somme

Énoncé : Une suite arithmétique $(u_n)$ vérifie $u_5 = 17$ et $u_{12} = 38$. Déterminer $u_0$, $r$ et $S_{12}$.

Solution :

On a $u_n = u_0 + nr$, donc :

$$u_{12} - u_5 = (u_0 + 12r) - (u_0 + 5r) = 7r = 38 - 17 = 21$$

D'où $r = 3$. Puis $u_5 = u_0 + 15 = 17$, donc $u_0 = 2$.

La somme : $S_{12} = 13 \times \frac{u_0 + u_{12}}{2} = 13 \times \frac{2 + 38}{2} = 13 \times 20 = 260$.

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Propriété intermédiaire

Pour une suite arithmétique, le terme du milieu est la moyenne des deux extrêmes :

$$u_n = \frac{u_{n-1} + u_{n+1}}{2}$$

Cette propriété permet de vérifier rapidement qu'une suite est arithmétique.

De même, pour une suite géométrique à termes positifs :

$$u_n = \sqrt{u_{n-1} \times u_{n+1}}$$

Le terme central est la moyenne géométrique des termes adjacents.

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À retenir

• Arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$, terme général $u_n = u_0 + nr$, somme $(n+1)\frac{u_0+u_n}{2}$.
• Géométrique : $u_{n+1} = q \cdot u_n$, terme général $u_n = u_0 q^n$, somme $u_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1-q}$.
• Les sommes de termes sont des formules à connaître par cœur.