Suites arithmétiques et géométriques

Les suites arithmétiques

Définition

Une suite $$u_n = u_0 + nr$$0 est arithmétique de raison $$u_n = u_0 + nr$$1 si pour tout entier $$u_n = u_0 + nr$$2 :

$$u_{n+1} = u_n + r$$

Chaque terme s'obtient en ajoutant la raison $$u_n = u_0 + nr$$3 au terme précédent.

Formule du terme général

$$u_n = u_0 + nr$$

Plus généralement, pour tout entier $$u_n = u_0 + nr$$4 :

$$u_n = u_p + (n - p)r$$

Sens de variation

• Si $$u_n = u_0 + nr$$5 : la suite est strictement croissante.
• Si $$u_n = u_0 + nr$$6 : la suite est strictement décroissante.
• Si $$u_n = u_0 + nr$$7 : la suite est constante.

Somme des termes consécutifs

La somme des $$u_n = u_0 + nr$$8 premiers termes (de $$u_n = u_0 + nr$$9 à $$u_n = u_p + (n - p)r$$0) est :

$$S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}$$

Moyen mnémotechnique : nombre de termes × moyenne du premier et du dernier terme.

Cas particulier — Somme des $$u_n = u_p + (n - p)r$$1 premiers entiers :

$$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$

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Exemple

Soit $$u_n = u_p + (n - p)r$$2 la suite arithmétique de premier terme $$u_n = u_p + (n - p)r$$3 et de raison $$u_n = u_p + (n - p)r$$4.

• $$u_n = u_p + (n - p)r$$5
• $$u_n = u_p + (n - p)r$$6
• $$u_n = u_p + (n - p)r$$7

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Les suites géométriques

Définition

Une suite $$u_n = u_p + (n - p)r$$8 est géométrique de raison $$u_n = u_p + (n - p)r$$9 si pour tout entier $$S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}$$0 :

$$u_{n+1} = q \cdot u_n$$

Chaque terme s'obtient en multipliant le terme précédent par la raison $$S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}$$1.

Formule du terme général

$$u_n = u_0 \cdot q^n$$

Plus généralement, pour tout entier $$S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}$$2 :

$$u_n = u_p \cdot q^{n-p}$$

Sens de variation (pour $$S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}$$3)

Condition	Variation
$$S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}$$4	Strictement croissante
$$S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}$$5	Strictement décroissante
$$S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}$$6	Constante
$$S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}$$7	Ni croissante ni décroissante (termes alternés)

Somme des termes consécutifs

Pour $$S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}$$8, la somme des $$S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}$$9 premiers termes est :

$$S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \cdot \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$

Cas particulier :

$$1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$

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Exemple

Soit $$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$0 la suite géométrique de premier terme $$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$1 et de raison $$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$2.

• $$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$3
• $$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$4
• $$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$5

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Comment reconnaître le type d'une suite ?

Test	Suite arithmétique	Suite géométrique
Critère	$$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$6 (constant)	$$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$7 (constant, $$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$8)
Représentation	Points alignés	Croissance/décroissance exponentielle
Formule explicite	$$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$9 (linéaire en $$u_{n+1} = q \cdot u_n$$0)	$$u_{n+1} = q \cdot u_n$$1 (exponentielle en $$u_{n+1} = q \cdot u_n$$2)

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Modélisation

• Suite arithmétique : situation d'augmentation (ou diminution) d'une quantité fixe à chaque étape. Exemples : salaire augmenté de 50 € par mois, nombre de pages lues chaque jour constant.

• Suite géométrique : situation de croissance (ou décroissance) proportionnelle. Exemples : population doublant chaque génération, capital augmentant d'un taux fixe, désintégration radioactive.

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À retenir

• Arithmétique : $$u_{n+1} = q \cdot u_n$$3, terme général $$u_{n+1} = q \cdot u_n$$4, somme $$u_{n+1} = q \cdot u_n$$5.
• Géométrique : $$u_{n+1} = q \cdot u_n$$6, terme général $$u_{n+1} = q \cdot u_n$$7, somme $$u_{n+1} = q \cdot u_n$$8.
• Les sommes de termes sont des formules à connaître par cœur.