Définition, modes de génération et monotonie des suites

Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

Une suite numérique est une fonction de $\mathbb{N}$ (ou d'une partie de $\mathbb{N}$) dans $\mathbb{R}$. On note $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou plus simplement $(u_n)$, et $u_n$ est appelé le terme général (ou terme de rang $n$).

Exemples :

$u_n = 2n + 1$ : les termes sont $1, 3, 5, 7, \ldots$ (nombres impairs)
$u_n = \frac{1}{n+1}$ : les termes sont $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$

Modes de génération

Définition explicite

Le terme $u_n$ est donné directement en fonction de $n$ :

$$u_n = f(n)$$

Exemple : $u_n = n^2 - 3n + 2$. On peut calculer n'importe quel terme sans connaître les précédents : $u_{10} = 100 - 30 + 2 = 72$.

Définition par récurrence

Le terme $u_{n+1}$ est exprimé en fonction du terme $u_n$ (et d'un ou plusieurs termes initiaux) :

$$\begin{cases} u_0 = a \text{ (terme initial)} \\ u_{n+1} = f(u_n) \text{ pour tout } n \in \mathbb{N} \end{cases}$$

Exemple : $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 2u_n - 1$.

$u_0 = 3$
$u_1 = 2 \times 3 - 1 = 5$
$u_2 = 2 \times 5 - 1 = 9$
$u_3 = 2 \times 9 - 1 = 17$

Attention : avec une définition par récurrence, pour calculer $u_{100}$, il faut calculer tous les termes intermédiaires.

Représentation graphique

Suite définie explicitement

On place les points de coordonnées $(n ; u_n)$ dans un repère. On obtient un nuage de points (pas une courbe continue, car $n$ est entier).

Suite définie par récurrence (méthode de l'escalier / de la toile d'araignée)

Pour visualiser la suite $u_{n+1} = f(u_n)$ :

Tracer la courbe de $f$ et la droite $y = x$.
Partir du point $(u_0 ; 0)$, monter verticalement jusqu'à la courbe de $f$ → on lit $u_1 = f(u_0)$.
Aller horizontalement jusqu'à la droite $y = x$.
Recommencer : monter jusqu'à la courbe, aller jusqu'à la droite, etc.

Monotonie d'une suite

Définition

$(u_n)$ est croissante si pour tout $n$ : $u_{n+1} \geq u_n$.
$(u_n)$ est décroissante si pour tout $n$ : $u_{n+1} \leq u_n$.
$(u_n)$ est constante si pour tout $n$ : $u_{n+1} = u_n$.
$(u_n)$ est monotone si elle est croissante ou décroissante.

Méthodes pour étudier la monotonie

Méthode 1 — Signe de $u_{n+1} - u_n$ :

Si $u_{n+1} - u_n > 0$ pour tout $n$, la suite est strictement croissante.

Méthode 2 — Rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (si $u_n > 0$) :

Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ pour tout $n$, la suite est strictement croissante.

Méthode 3 — Fonction associée :

Si $u_n = f(n)$ et si $f$ est croissante sur $[0 ; +\infty[$, alors la suite $(u_n)$ est croissante.

Suites bornées

$(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$.
$(u_n)$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que $u_n \geq m$ pour tout $n$.
$(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemple : $u_n = \frac{n}{n+1}$

Pour tout $n \geq 0$ : $0 \leq u_n < 1$. La suite est bornée (minorée par 0, majorée par 1).

Exercice résolu — Étude de monotonie

Énoncé : Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \frac{n+1}{n+2}$.

Solution :

On calcule $u_{n+1} - u_n$ :

$$u_{n+1} - u_n = \frac{n+2}{n+3} - \frac{n+1}{n+2} = \frac{(n+2)^2 - (n+1)(n+3)}{(n+2)(n+3)}$$

Développons le numérateur :

$$(n+2)^2 - (n+1)(n+3) = n^2 + 4n + 4 - (n^2 + 4n + 3) = 1$$

Donc $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+2)(n+3)} > 0$ pour tout $n \geq 0$.

La suite est strictement croissante.

Exemple — Suite non monotone

La suite $u_n = (-1)^n \times \frac{1}{n+1}$ prend les valeurs $1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \ldots$

Les termes alternent de signe : la suite n'est ni croissante ni décroissante. Elle est cependant bornée car $|u_n| \leq 1$ pour tout $n$.

Exercice résolu — Suite récurrente

Énoncé : On considère la suite définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + 1$. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et conjecturer le sens de variation.