Définition, modes de génération et monotonie des suites

Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

Une suite numérique est une fonction de $\mathbb{N}$ (ou d'une partie de $\mathbb{N}$) dans $\mathbb{R}$. On note $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou plus simplement $(u_n)$, et $u_n$ est appelé le terme général (ou terme de rang $n$).

Exemples :

$u_n = 2n + 1$ : les termes sont $$\begin{cases} u_0 = a \text{ (terme initial)} \\ u_{n+1} = f(u_n) \text{ pour tout } n \in \mathbb{N} \end{cases}$$0 (nombres impairs)
$$\begin{cases} u_0 = a \text{ (terme initial)} \\ u_{n+1} = f(u_n) \text{ pour tout } n \in \mathbb{N} \end{cases}$$1 : les termes sont $$\begin{cases} u_0 = a \text{ (terme initial)} \\ u_{n+1} = f(u_n) \text{ pour tout } n \in \mathbb{N} \end{cases}$$2

Modes de génération

Définition explicite

Le terme $$\begin{cases} u_0 = a \text{ (terme initial)} \\ u_{n+1} = f(u_n) \text{ pour tout } n \in \mathbb{N} \end{cases}$$3 est donné directement en fonction de $$\begin{cases} u_0 = a \text{ (terme initial)} \\ u_{n+1} = f(u_n) \text{ pour tout } n \in \mathbb{N} \end{cases}$$4 :

$$u_n = f(n)$$

Exemple : $$\begin{cases} u_0 = a \text{ (terme initial)} \\ u_{n+1} = f(u_n) \text{ pour tout } n \in \mathbb{N} \end{cases}$$5. On peut calculer n'importe quel terme sans connaître les précédents : $$\begin{cases} u_0 = a \text{ (terme initial)} \\ u_{n+1} = f(u_n) \text{ pour tout } n \in \mathbb{N} \end{cases}$$6.

Définition par récurrence

Le terme $$\begin{cases} u_0 = a \text{ (terme initial)} \\ u_{n+1} = f(u_n) \text{ pour tout } n \in \mathbb{N} \end{cases}$$7 est exprimé en fonction du terme $$\begin{cases} u_0 = a \text{ (terme initial)} \\ u_{n+1} = f(u_n) \text{ pour tout } n \in \mathbb{N} \end{cases}$$8 (et d'un ou plusieurs termes initiaux) :

$$\begin{cases} u_0 = a \text{ (terme initial)} \\ u_{n+1} = f(u_n) \text{ pour tout } n \in \mathbb{N} \end{cases}$$

Exemple : $$\begin{cases} u_0 = a \text{ (terme initial)} \\ u_{n+1} = f(u_n) \text{ pour tout } n \in \mathbb{N} \end{cases}$$9 et $\mathbb{N}$0.

$\mathbb{N}$1
$\mathbb{N}$2
$\mathbb{N}$3
$\mathbb{N}$4

Attention : avec une définition par récurrence, pour calculer $\mathbb{N}$5, il faut calculer tous les termes intermédiaires.

Représentation graphique

Suite définie explicitement

On place les points de coordonnées $\mathbb{N}$6 dans un repère. On obtient un nuage de points (pas une courbe continue, car $\mathbb{N}$7 est entier).

Suite définie par récurrence (méthode de l'escalier / de la toile d'araignée)

Pour visualiser la suite $\mathbb{N}$8 :

Tracer la courbe de $\mathbb{N}$9 et la droite $\mathbb{N}$0.
Partir du point $\mathbb{N}$1, monter verticalement jusqu'à la courbe de $\mathbb{N}$2 → on lit $\mathbb{N}$3.
Aller horizontalement jusqu'à la droite $\mathbb{N}$4.
Recommencer : monter jusqu'à la courbe, aller jusqu'à la droite, etc.

Monotonie d'une suite

Définition

$\mathbb{N}$5 est croissante si pour tout $\mathbb{N}$6 : $\mathbb{N}$7.
$\mathbb{N}$8 est décroissante si pour tout $\mathbb{N}$9 : $\mathbb{R}$0.
$\mathbb{R}$1 est constante si pour tout $\mathbb{R}$2 : $\mathbb{R}$3.
$\mathbb{R}$4 est monotone si elle est croissante ou décroissante.

Méthodes pour étudier la monotonie

Méthode 1 — Signe de $\mathbb{R}$5 :

Si $\mathbb{R}$6 pour tout $\mathbb{R}$7, la suite est strictement croissante.

Méthode 2 — Rapport $\mathbb{R}$8 (si $\mathbb{R}$9) :

Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$0 pour tout $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$1, la suite est strictement croissante.

Méthode 3 — Fonction associée :

Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$2 et si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$3 est croissante sur $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$4, alors la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$5 est croissante.

Suites bornées

$(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$6 est majorée s'il existe un réel $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$7 tel que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$8 pour tout $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$9.
$(u_n)$0 est minorée s'il existe un réel $(u_n)$1 tel que $(u_n)$2 pour tout $(u_n)$3.
$(u_n)$4 est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemple : $(u_n)$5

Pour tout $(u_n)$6 : $(u_n)$7. La suite est bornée (minorée par 0, majorée par 1).

À retenir

Une suite peut être définie de manière explicite ($(u_n)$8) ou par récurrence ($(u_n)$9 avec $u_n$0 donné).
Pour la monotonie, on étudie le signe de $u_n$1.
Une suite est bornée si tous ses termes restent dans un intervalle $u_n$2.

Définition, modes de génération et monotonie