Signe du trinôme du second degré

Problématique

Étudier le signe de $f(x) = ax^2 + bx + c$ revient à déterminer pour quelles valeurs de $x$ l'expression est positive, négative ou nulle. C'est essentiel pour résoudre des inéquations du second degré.

Règle du signe

Le signe du trinôme dépend du signe de $a$ et du discriminant $\Delta$.

Cas $\Delta > 0$ (deux racines $x_1 < x_2$)

Le trinôme s'annule en $x_1$ et $x_2$ et est :

du signe de $a$ à l'extérieur des racines (pour $x < x_1$ et $x > x_2$) ;
du signe opposé à $a$ entre les racines (pour $x_1 < x < x_2$).

$x$	$-\infty$		$x_1$		$x_2$		$+\infty$
signe de $f(x)$	signe de $a$		$0$	signe de $-a$	$0$		signe de $a$

Cas $\Delta = 0$ (racine double $x_0$)

Le trinôme s'annule uniquement en $x_0$ et est du signe de $a$ partout ailleurs :

$$f(x) = a(x - x_0)^2 \geq 0 \text{ si } a > 0, \quad f(x) \leq 0 \text{ si } a < 0$$

Cas $\Delta < 0$ (pas de racine réelle)

Le trinôme ne s'annule jamais et est du signe de $a$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

$$\text{Si } a > 0 \text{ : } f(x) > 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$
$$\text{Si } a < 0 \text{ : } f(x) < 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$

Méthode de résolution d'une inéquation

Pour résoudre $ax^2 + bx + c \leq 0$ (ou $\geq 0$, $< 0$, $> 0$) :

Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$.
Trouver les racines (si elles existent).
Dresser le tableau de signes.
Lire les intervalles solutions.

Exemples

Exemple 1

Résoudre $x^2 - 4x + 3 \geq 0$.

$\Delta = 16 - 12 = 4 > 0$, racines $x_1 = 1$ et $x_2 = 3$
$a = 1 > 0$, donc $f(x) \geq 0$ à l'extérieur des racines

Solution : $x \in ]-\infty ; 1] \cup [3 ; +\infty[$

Exemple 2

Résoudre $-2x^2 + 3x - 5 > 0$.

$\Delta = 9 - 40 = -31 < 0$
$a = -2 < 0$, donc $f(x) < 0$ pour tout $x$

Solution : $\emptyset$ (ensemble vide). L'inéquation n'a aucune solution.

Exemple 3

Résoudre $x^2 - 6x + 9 < 0$.

$\Delta = 36 - 36 = 0$, racine double $x_0 = 3$
$a = 1 > 0$, donc $f(x) = (x-3)^2 \geq 0$ pour tout $x$

Solution : $\emptyset$. Le trinôme ne prend jamais de valeur strictement négative.

Application : position relative d'une parabole et d'une droite

Pour étudier la position de la parabole $y = ax^2 + bx + c$ par rapport à la droite $y = mx + p$, on étudie le signe de :

$$g(x) = ax^2 + (b - m)x + (c - p)$$

Si $g(x) > 0$ : la parabole est au-dessus de la droite.
Si $g(x) < 0$ : la parabole est en dessous.
Si $g(x) = 0$ : il y a intersection.

Exemple 4 — Double inéquation

Résoudre $1 \leq x^2 - 2x \leq 8$.

On résout chaque inéquation séparément :

Inéquation 1 : $x^2 - 2x - 1 \geq 0$.

$\Delta = 4 + 4 = 8$, racines $x = 1 \pm \sqrt{2}$. Comme $a > 0$, le trinôme est $\geq 0$ pour $x \leq 1 - \sqrt{2}$ ou $x \geq 1 + \sqrt{2}$.

Inéquation 2 : $x^2 - 2x - 8 \leq 0$.

$\Delta = 4 + 32 = 36$, racines $x = -2$ et $x = 4$. Comme $a > 0$, le trinôme est $\leq 0$ pour $-2 \leq x \leq 4$.

Intersection : $x \in [-2 ; 1 - \sqrt{2}] \cup [1 + \sqrt{2} ; 4]$.

Exercice résolu

Énoncé : Résoudre $2x^2 - 5x - 3 < 0$.

Solution :

$\Delta = 25 + 24 = 49 > 0$
Racines : $x_1 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}$ et $x_2 = \frac{5 + 7}{4} = 3$
$a = 2 > 0$ : le trinôme est négatif entre les racines
Solution : $x \in \left]-\frac{1}{2} ; 3\right[$

Vérification : $f(0) = -3 < 0$ ✓ (0 est bien entre les racines) ; $f(4) = 32 - 20 - 3 = 9 > 0$ ✓

Résumé visuel

Le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines (quand elles existent). C'est la règle fondamentale à retenir.

Moyen mnémotechnique :

Si $a > 0$, la parabole « sourit » (U) → positif à l'extérieur.
Si $a < 0$, la parabole « pleure » (∩) → négatif à l'extérieur.

À retenir

Le signe du trinôme dépend de $\Delta$ et du signe de $a$.
Si $\Delta > 0$ : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, du signe de $-a$ entre les racines.
Si $\Delta = 0$ : le trinôme est du signe de $a$ partout (nul en $x_0$).
Si $\Delta < 0$ : le trinôme est strictement du signe de $a$ pour tout réel.

Signe du trinôme