Signe du trinôme du second degré

Problématique

Étudier le signe de $f(x) = ax^2 + bx + c$ revient à déterminer pour quelles valeurs de $x$ l'expression est positive, négative ou nulle. C'est essentiel pour résoudre des inéquations du second degré.

Règle du signe

Le signe du trinôme dépend du signe de $a$ et du discriminant $\Delta$.

Cas $\Delta > 0$ (deux racines $x_1 < x_2$)

Le trinôme s'annule en $$\text{Si } a > 0 \text{ : } f(x) > 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$0 et $$\text{Si } a > 0 \text{ : } f(x) > 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$1 et est :

du signe de $$\text{Si } a > 0 \text{ : } f(x) > 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$2 à l'extérieur des racines (pour $$\text{Si } a > 0 \text{ : } f(x) > 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$3 et $$\text{Si } a > 0 \text{ : } f(x) > 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$4) ;
du signe opposé à $$\text{Si } a > 0 \text{ : } f(x) > 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$5 entre les racines (pour $$\text{Si } a > 0 \text{ : } f(x) > 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$6).

$$\text{Si } a > 0 \text{ : } f(x) > 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$7	$$\text{Si } a > 0 \text{ : } f(x) > 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$8		$$\text{Si } a > 0 \text{ : } f(x) > 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$9		$$\text{Si } a < 0 \text{ : } f(x) < 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$0		$$\text{Si } a < 0 \text{ : } f(x) < 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$1
signe de $$\text{Si } a < 0 \text{ : } f(x) < 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$2	signe de $$\text{Si } a < 0 \text{ : } f(x) < 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$3		$$\text{Si } a < 0 \text{ : } f(x) < 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$4	signe de $$\text{Si } a < 0 \text{ : } f(x) < 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$5	$$\text{Si } a < 0 \text{ : } f(x) < 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$6		signe de $$\text{Si } a < 0 \text{ : } f(x) < 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$7

Cas $$\text{Si } a < 0 \text{ : } f(x) < 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$8 (racine double $$\text{Si } a < 0 \text{ : } f(x) < 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$9)

Le trinôme s'annule uniquement en $$g(x) = ax^2 + (b - m)x + (c - p)$$0 et est du signe de $$g(x) = ax^2 + (b - m)x + (c - p)$$1 partout ailleurs :

$$f(x) = a(x - x_0)^2 \geq 0 \text{ si } a > 0, \quad f(x) \leq 0 \text{ si } a < 0$$

Cas $$g(x) = ax^2 + (b - m)x + (c - p)$$2 (pas de racine réelle)

Le trinôme ne s'annule jamais et est du signe de $$g(x) = ax^2 + (b - m)x + (c - p)$$3 pour tout $$g(x) = ax^2 + (b - m)x + (c - p)$$4 :

$$\text{Si } a > 0 \text{ : } f(x) > 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$
$$\text{Si } a < 0 \text{ : } f(x) < 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$

Méthode de résolution d'une inéquation

Pour résoudre $$g(x) = ax^2 + (b - m)x + (c - p)$$5 (ou $$g(x) = ax^2 + (b - m)x + (c - p)$$6, $$g(x) = ax^2 + (b - m)x + (c - p)$$7, $$g(x) = ax^2 + (b - m)x + (c - p)$$8) :

Calculer $$g(x) = ax^2 + (b - m)x + (c - p)$$9.
Trouver les racines (si elles existent).
Dresser le tableau de signes.
Lire les intervalles solutions.

Exemples

Exemple 1

Résoudre $f(x) = ax^2 + bx + c$0.

$f(x) = ax^2 + bx + c$1, racines $f(x) = ax^2 + bx + c$2 et $f(x) = ax^2 + bx + c$3
$f(x) = ax^2 + bx + c$4, donc $f(x) = ax^2 + bx + c$5 à l'extérieur des racines

Solution : $f(x) = ax^2 + bx + c$6

Exemple 2

Résoudre $f(x) = ax^2 + bx + c$7.

$f(x) = ax^2 + bx + c$8
$f(x) = ax^2 + bx + c$9, donc $x$0 pour tout $x$1

Solution : $x$2 (ensemble vide). L'inéquation n'a aucune solution.

Exemple 3

Résoudre $x$3.

$x$4, racine double $x$5
$x$6, donc $x$7 pour tout $x$8

Solution : $x$9. Le trinôme ne prend jamais de valeur strictement négative.

Application : position relative d'une parabole et d'une droite

Pour étudier la position de la parabole $a$0 par rapport à la droite $a$1, on étudie le signe de :

$$g(x) = ax^2 + (b - m)x + (c - p)$$

Si $a$2 : la parabole est au-dessus de la droite.
Si $a$3 : la parabole est en dessous.
Si $a$4 : il y a intersection.

Résumé visuel

Le trinôme est du signe de $a$5 à l'extérieur des racines (quand elles existent). C'est la règle fondamentale à retenir.

Moyen mnémotechnique :

Si $a$6, la parabole « sourit » (U) → positif à l'extérieur.
Si $a$7, la parabole « pleure » (∩) → négatif à l'extérieur.

À retenir

Le signe du trinôme dépend de $a$8 et du signe de $a$9.
Si $\Delta$0 : le trinôme est du signe de $\Delta$1 à l'extérieur des racines, du signe de $\Delta$2 entre les racines.
Si $\Delta$3 : le trinôme est du signe de $\Delta$4 partout (nul en $\Delta$5).
Si $\Delta$6 : le trinôme est strictement du signe de $\Delta$7 pour tout réel.

Signe du trinôme