Résolution et factorisation du trinôme

Résolution de $ax^2 + bx + c = 0$

La résolution de l'équation du second degré repose entièrement sur le signe du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.

Cas $\Delta > 0$ — Deux racines distinctes

L'équation admet deux solutions réelles :

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{et} \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Cas $\Delta = 0$ — Racine double

L'équation admet une unique solution (racine double) :

$$x_0 = -\frac{b}{2a}$$

Cas $\Delta < 0$ — Pas de racine réelle

L'équation n'a aucune solution dans $\mathbb{R}$.

Relations entre coefficients et racines

Lorsque le trinôme $ax^2 + bx + c$ admet deux racines $x_1$ et $x_2$ (éventuellement confondues), on a les relations de Viète :

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Application : si on connaît la somme et le produit de deux nombres, on peut former l'équation du second degré dont ils sont racines : $x^2 - Sx + P = 0$, où $S$ est la somme et $P$ le produit.

Factorisation du trinôme

Si $\Delta > 0$

Le trinôme se factorise :

$$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$

Si $\Delta = 0$

$$ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$$

Si $\Delta < 0$

Le trinôme ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$.

Exemples détaillés

Exemple 1

Résoudre $x^2 - 5x + 6 = 0$.

$a=1$, $b=-5$, $c=6$
$\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$
$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2$ et $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$
Factorisation : $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$

Vérification par Viète : $x_1 + x_2 = 5 = -\frac{-5}{1}$ ✓ et $x_1 \cdot x_2 = 6 = \frac{6}{1}$ ✓

Exemple 2

Résoudre $4x^2 - 12x + 9 = 0$.

$\Delta = 144 - 144 = 0$
$x_0 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
Factorisation : $4x^2 - 12x + 9 = 4\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 = (2x-3)^2$

Exemple 3

Résoudre $x^2 + x + 1 = 0$.

$\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$

Pas de solution réelle. Le trinôme reste strictement positif pour tout $x \in \mathbb{R}$ (car $a = 1 > 0$).

Équations se ramenant au second degré

Certaines équations se ramènent au second degré par un changement de variable.

Exemple : Résoudre $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

On pose $X = x^2$ : l'équation devient $X^2 - 5X + 4 = 0$.

$\Delta = 25 - 16 = 9$, $X_1 = 1$, $X_2 = 4$

Puis : $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ et $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.

L'ensemble des solutions est $\{-2 ; -1 ; 1 ; 2\}$.

Méthode de résolution pas à pas

Pour résoudre une équation du second degré $ax^2 + bx + c = 0$ :

Identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$.
Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.
Conclure selon le signe de $\Delta$ :
$\Delta > 0$ : deux racines $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
$\Delta = 0$ : racine double $x_0 = -\frac{b}{2a}$
$\Delta < 0$ : pas de solution dans $\mathbb{R}$
Vérifier éventuellement avec les relations de Viète.

Exercice résolu — Application des relations de Viète

Énoncé : Sans résoudre l'équation $3x^2 - 7x + 2 = 0$, calculer $x_1^2 + x_2^2$ où $x_1$ et $x_2$ sont les racines.

Solution :

Par les relations de Viète : $x_1 + x_2 = \frac{7}{3}$ et $x_1 x_2 = \frac{2}{3}$.

Or $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$.

Donc : $x_1^2 + x_2^2 = \left(\frac{7}{3}\right)^2 - 2 \times \frac{2}{3} = \frac{49}{9} - \frac{4}{3} = \frac{49}{9} - \frac{12}{9} = \frac{37}{9}$.

Les relations de Viète permettent souvent de calculer des expressions symétriques des racines sans avoir à les calculer individuellement.

Exercice résolu — Équation paramétrique

Énoncé : Pour quelles valeurs de $m$ l'équation $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ admet-elle deux racines réelles distinctes ?