Résolution et factorisation du trinôme

Résolution de $ax^2 + bx + c = 0$

La résolution de l'équation du second degré repose entièrement sur le signe du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.

Cas $\Delta > 0$ — Deux racines distinctes

L'équation admet deux solutions réelles :

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{et} \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Cas $\Delta = 0$ — Racine double

L'équation admet une unique solution (racine double) :

$$x_0 = -\frac{b}{2a}$$

Cas $$x_0 = -\frac{b}{2a}$$0 — Pas de racine réelle

L'équation n'a aucune solution dans $$x_0 = -\frac{b}{2a}$$1.

Relations entre coefficients et racines

Lorsque le trinôme $$x_0 = -\frac{b}{2a}$$2 admet deux racines $$x_0 = -\frac{b}{2a}$$3 et $$x_0 = -\frac{b}{2a}$$4 (éventuellement confondues), on a les relations de Viète :

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Application : si on connaît la somme et le produit de deux nombres, on peut former l'équation du second degré dont ils sont racines : $$x_0 = -\frac{b}{2a}$$5, où $$x_0 = -\frac{b}{2a}$$6 est la somme et $$x_0 = -\frac{b}{2a}$$7 le produit.

Factorisation du trinôme

Si $$x_0 = -\frac{b}{2a}$$8

Le trinôme se factorise :

$$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$

Si $$x_0 = -\frac{b}{2a}$$9

$$ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$$

Si $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$0

Le trinôme ne se factorise pas dans $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$1.

Exemples détaillés

Exemple 1

Résoudre $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$2.

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$3, $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$4, $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$5
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$6
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$7 et $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$8
Factorisation : $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$9

Vérification par Viète : $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$0 ✓ et $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$1 ✓

Exemple 2

Résoudre $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$2.

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$3
$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$4
Factorisation : $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$5

Exemple 3

Résoudre $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$6.

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$7

Pas de solution réelle. Le trinôme reste strictement positif pour tout $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$8 (car $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$9).

Équations se ramenant au second degré

Certaines équations se ramènent au second degré par un changement de variable.

Exemple : Résoudre $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$0.

On pose $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$1 : l'équation devient $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$2.

$$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$3, $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$4, $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$5

Puis : $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$6 et $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$7.

L'ensemble des solutions est $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$8.

À retenir

Les formules $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$9 donnent les racines lorsque $$ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$$0.
Un trinôme de discriminant positif se factorise : $$ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$$1.
Les relations de Viète lient les racines aux coefficients : $$ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$$2, $$ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$$3.

Résolution et factorisation