Le trinôme du second degré
Second degré
Le trinôme du second degré
Introduction
Le trinôme du second degré est un pilier de l'algèbre au lycée. Il intervient aussi bien en mathématiques pures (factorisation, étude de signe) qu'en sciences physiques (trajectoire parabolique, énergie cinétique).
Définition
On appelle trinôme du second degré toute expression de la forme :
$$f(x) = ax^2 + bx + c$$
où $a$, $b$, $c$ sont des réels avec $a \neq 0$.
Le coefficient $a$ est appelé coefficient dominant. Il détermine le sens d'ouverture de la parabole.
Représentation graphique
La courbe représentative de $f$ est une parabole :
- Si $a > 0$ : parabole tournée vers le haut (forme de « U ») → la fonction admet un minimum.
- Si $a < 0$ : parabole tournée vers le bas (forme de « ∩ ») → la fonction admet un maximum.
Forme canonique
Tout trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous sa forme canonique :
$$f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$$
où $\Delta = b^2 - 4ac$ est le discriminant du trinôme.
Démonstration
On factorise par $a$ :
$$f(x) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$$
On complète le carré à l'intérieur de la parenthèse :
$$x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}$$
D'où :
$$f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}\right] + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c$$
Comme $c = \frac{4ac}{4a}$, on obtient :
$$f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$$
Sommet de la parabole
Le sommet $S$ de la parabole est le point d'abscisse $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et d'ordonnée $\beta = f(\alpha) = -\frac{\Delta}{4a}$ :
$$S\left(-\frac{b}{2a} \;; -\frac{\Delta}{4a}\right)$$
C'est le point le plus bas si $a > 0$, le point le plus haut si $a < 0$.
La droite $x = -\frac{b}{2a}$ est l'axe de symétrie de la parabole.
Le discriminant
Le discriminant est la quantité :
$$\Delta = b^2 - 4ac$$
Il joue un rôle central car il détermine le nombre de racines réelles du trinôme.
| Signe de $\Delta$ | Nombre de racines | Interprétation graphique |
|---|---|---|
| $\Delta > 0$ | 2 racines distinctes $x_1$ et $x_2$ | La parabole coupe l'axe des abscisses en 2 points |
| $\Delta = 0$ | 1 racine double $x_0$ | La parabole est tangente à l'axe des abscisses |
| $\Delta < 0$ | Aucune racine réelle | La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses |
Exemple
Soit $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$.
- $a = 2$, $b = -8$, $c = 6$
- $\Delta = (-8)^2 - 4 \times 2 \times 6 = 64 - 48 = 16 > 0$
Le trinôme admet donc deux racines réelles distinctes.
- Sommet : $\alpha = -\frac{-8}{2 \times 2} = 2$ et $\beta = f(2) = 8 - 16 + 6 = -2$, d'où $S(2 ; -2)$.
- Forme canonique : $f(x) = 2(x-2)^2 - 2$.
Exemple 2 — Racine double
Soit $g(x) = x^2 - 6x + 9$.
- $a = 1$, $b = -6$, $c = 9$
- $\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 9 = 36 - 36 = 0$
Le trinôme admet une racine double : $x_0 = \frac{6}{2} = 3$.
- Sommet : $S(3 ; 0)$ — la parabole est tangente à l'axe des abscisses.
- Forme canonique : $g(x) = (x - 3)^2$.
- Forme factorisée : $g(x) = (x - 3)^2$.
Exemple 3 — Pas de racine réelle
Soit $h(x) = 2x^2 + x + 3$.
- $a = 2$, $b = 1$, $c = 3$
- $\Delta = 1^2 - 4 \times 2 \times 3 = 1 - 24 = -23 < 0$
Le trinôme n'admet aucune racine réelle. Comme $a = 2 > 0$, la parabole est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses : $h(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Rôle de chaque coefficient
- Le coefficient $c = f(0)$ est l'ordonnée à l'origine : c'est le point où la parabole coupe l'axe des ordonnées.
- Le coefficient $b$ influence la position horizontale du sommet via $\alpha = -\frac{b}{2a}$.
- Lorsque $b = 0$, le sommet est sur l'axe des ordonnées et $f(x) = ax^2 + c$.
Exercice résolu
Énoncé : Déterminer la forme canonique, le sommet et le discriminant de $f(x) = -3x^2 + 12x - 7$.
Solution :
- On identifie $a = -3$, $b = 12$, $c = -7$.
- Discriminant : $\Delta = 12^2 - 4 \times (-3) \times (-7) = 144 - 84 = 60 > 0$.
- Abscisse du sommet : $\alpha = -\frac{12}{2 \times (-3)} = -\frac{12}{-6} = 2$.
- Ordonnée du sommet : $\beta = f(2) = -3 \times 4 + 12 \times 2 - 7 = -12 + 24 - 7 = 5$, donc $S(2 ; 5)$.
- Forme canonique : $f(x) = -3(x - 2)^2 + 5$.
Comme $a = -3 < 0$, la parabole s'ouvre vers le bas. Le sommet $S(2 ; 5)$ est le maximum de la fonction.
À retenir
- Un trinôme $ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ a pour courbe une parabole.
- La forme canonique met en évidence le sommet de la parabole.
- Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ détermine le nombre de racines.
- Le sommet a pour coordonnées $\left(-\frac{b}{2a} ; -\frac{\Delta}{4a}\right)$.
- Le coefficient $c$ est l'ordonnée à l'origine de la parabole.
- Si $\Delta > 0$ : deux racines ; $\Delta = 0$ : racine double ; $\Delta < 0$ : aucune racine réelle.