Définitions et propriétés du produit scalaire
Produit scalaire
Définitions et propriétés du produit scalaire
Introduction
Le produit scalaire est un outil fondamental de la géométrie. Il associe à deux vecteurs un nombre réel qui encode leur relation angulaire et leurs longueurs. Il permet de calculer des distances, des angles, de prouver l'orthogonalité, et constitue le pont entre géométrie synthétique et géométrie analytique.
Norme d'un vecteur
Définition
La norme (ou longueur) d'un vecteur $$AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$7 est notée $$AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$8 ou $$AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$9.
Si $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$$0 a pour coordonnées $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$$1 dans un repère orthonormé :
$$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$$
Distance entre deux points
Si $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$$2 et $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$$3 :
$$AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$
Définitions du produit scalaire
Il existe plusieurs définitions équivalentes du produit scalaire.
Définition 1 : avec l'angle
Pour deux vecteurs $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$$4 et $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$$5 non nuls, avec $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$$6 l'angle entre eux :
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$$
Si l'un des vecteurs est nul : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$$7.
Définition 2 : avec les coordonnées (analytique)
Si $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$$8 et $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$$9 dans un repère orthonormé :
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$$
Définition 3 : avec les normes (polarisation)
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$$
ou de manière équivalente :
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2\right)$$
Définition 4 : avec le projeté orthogonal
Si $$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$$0 est le projeté orthogonal de $$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$$1 sur la droite dirigée par $$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$$2 :
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \overline{OH}$$
où $$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$$3 est la mesure algébrique du projeté.
Exemples de calcul
Avec les coordonnées
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$$4 et $$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$$5 :
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 2 + (-1) \times 5 = 6 - 5 = 1$$
Avec l'angle
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$$6, $$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$$7 et $$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$$8 :
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 3 \times \cos 60° = 12 \times \frac{1}{2} = 6$$
Cas particuliers
- Si $$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$$9 (même direction, même sens) : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$$0.
- Si $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$$1 (vecteurs perpendiculaires) : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$$2.
- Si $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$$3 (même direction, sens opposés) : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$$4.
- $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$$5 (le produit scalaire d'un vecteur par lui-même donne le carré de sa norme).
Propriétés
Le produit scalaire vérifie les propriétés suivantes, pour tous vecteurs $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$$6, $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$$7, $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$$8 et tout réel $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$$9 :
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Symétrie | $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2\right)$$0 |
| Bilinéarité | $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2\right)$$1 |
| Homogénéité | $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2\right)$$2 |
| Positivité | $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2\right)$$3, et $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2\right)$$4 |
Identités remarquables
$$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$$
$$AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$0
$$AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$1
Orthogonalité
Critère
Deux vecteurs $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2\right)$$5 et $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2\right)$$6 sont orthogonaux si et seulement si :
$$AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$2
Exemple
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2\right)$$7 et $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2\right)$$8 :
$$AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$3
Les vecteurs sont orthogonaux. ✓
Calcul d'un angle
À partir de la définition avec l'angle, on déduit :
$$AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$4
Exemple : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2\right)$$9 et $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \overline{OH}$$0 :
$$AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$5
$$AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$6
Donc $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \overline{OH}$$1 (soit 45°).
À retenir
- $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \overline{OH}$$2 (en repère orthonormé).
- $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \overline{OH}$$3.
- $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \overline{OH}$$4.
- $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \overline{OH}$$5.
- Le produit scalaire est symétrique, bilinéaire et positif.