Applications du produit scalaire

Introduction

Le produit scalaire est bien plus qu'une formule de calcul : c'est un outil puissant qui permet de démontrer des propriétés géométriques, d'appliquer la formule d'Al-Kashi, et de résoudre des problèmes de distances et d'angles dans le plan.

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Formule d'Al-Kashi (loi des cosinus)

Théorème

Dans un triangle $ABC$ quelconque, avec les notations $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$ :

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\widehat{A})$$

C'est la généralisation du théorème de Pythagore au cas des triangles non rectangles. Quand $\widehat{A} = 90°$, on retrouve $a^2 = b^2 + c^2$.

Démonstration par le produit scalaire

$$a^2 = BC^2 = \|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2$$

$$= \|\overrightarrow{AC}\|^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + \|\overrightarrow{AB}\|^2$$

$$= b^2 + c^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}$$

Or $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = bc\cos(\widehat{A})$, d'où le résultat.

Exemple

Dans un triangle $ABC$ avec $AB = 5$, $AC = 7$ et $\widehat{A} = 60°$ :

$$BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60° = 25 + 49 - 70 \times \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$$

$$BC = \sqrt{39} \approx 6{,}24$$

Réciproque : calculer un angle

On peut aussi utiliser Al-Kashi pour trouver un angle :

$$\cos(\widehat{A}) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

Exemple : Triangle avec $a = 8$, $b = 5$, $c = 7$.

$$\cos(\widehat{A}) = \frac{25 + 49 - 64}{2 \times 5 \times 7} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7} \approx 0{,}143$$

$$\widehat{A} = \arccos\left(\frac{1}{7}\right) \approx 81{,}8°$$

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Formule des médianes

Théorème

Si $M$ est le milieu de $[BC]$ dans le triangle $ABC$, alors :

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AM^2 - \frac{BC^2}{4}$$

Démonstration

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB}) \cdot (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC})$$

Comme $\overrightarrow{MC} = -\overrightarrow{MB}$ :

$$= (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB}) \cdot (\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{MB}) = \|\overrightarrow{AM}\|^2 - \|\overrightarrow{MB}\|^2 = AM^2 - \frac{BC^2}{4}$$

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Démonstrations géométriques avec le produit scalaire

Exemple 1 : Diagonales d'un losange

Propriété : Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.

Preuve : Soit $ABCD$ un losange ($AB = BC = CD = DA$). On montre que $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$.

$$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) \cdot (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD})$$

$$= (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) \cdot (-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC})$$

car $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ (parallélogramme).

$$= -\|\overrightarrow{AB}\|^2 + \|\overrightarrow{BC}\|^2 = -AB^2 + BC^2 = 0$$

car $AB = BC$ (losange). Donc $\overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{BD}$. ■

Exemple 2 : Théorème de Pythagore

Si $\widehat{A} = 90°$ dans le triangle $ABC$, alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$.

$$BC^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2 = AC^2 + AB^2 - 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AC^2 + AB^2$$

On retrouve le théorème de Pythagore. ✓

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Projeté orthogonal

Définition

Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur une droite $(d)$ est le point $H$ de $(d)$ tel que $\overrightarrow{MH} \perp (d)$.

Produit scalaire et projection

Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$, alors :

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} = AB \times AH \times \cos 0° = AB \times AH$$

si $H$ est du même côté que $B$ par rapport à $A$ (sinon le signe change).

Cette formule est utile pour calculer des longueurs de projections.

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Inégalité de Cauchy-Schwarz

Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

$$|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|$$

avec égalité si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Cette inégalité découle de $|\cos\theta| \leq 1$.

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Exercices résolus

Exercice 1 : Calcul de côté par Al-Kashi

Dans un triangle $ABC$, on donne $AB = 4$, $AC = 6$ et $\widehat{A} = 120°$. Calculer la longueur $BC$.

Solution :

On applique la formule d'Al-Kashi avec $c = AB = 4$, $b = AC = 6$ et $\widehat{A} = 120°$ :

$$BC^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A}) = 36 + 16 - 2 \times 6 \times 4 \times \cos 120°$$

$$= 52 - 48 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = 52 + 24 = 76$$

$$BC = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \approx 8{,}72$$

Remarque : L'angle étant obtus ($120° > 90°$), le terme $-2bc\cos\widehat{A}$ est positif, ce qui donne $BC^2 > b^2 + c^2$. C'est cohérent : le côté opposé à un angle obtus est le plus grand.

Exercice 2 : Calcul d'angle par Al-Kashi

Un triangle a pour côtés $a = 6$, $b = 4$ et $c = 5$. Déterminer l'angle $\widehat{A}$.

Solution :

$$\cos(\widehat{A}) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{16 + 25 - 36}{2 \times 4 \times 5} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$$

$$\widehat{A} = \arccos\left(\frac{1}{8}\right) \approx 82{,}8°$$

L'angle est aigu car $\cos(\widehat{A}) > 0$.

Exercice 3 : Démonstration avec le produit scalaire

Montrer que dans un parallélogramme $ABCD$, si les diagonales sont de même longueur ($AC = BD$), alors $ABCD$ est un rectangle.

Solution :

On veut montrer que $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$.

$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}, \quad \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$$

$$AC^2 = \|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\|^2 = AB^2 + 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} + AD^2$$

$$BD^2 = \|\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}\|^2 = AD^2 - 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} + AB^2$$

En soustrayant : $AC^2 - BD^2 = 4\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$.

Comme $AC = BD$, on a $AC^2 - BD^2 = 0$, donc $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} = 0$.

Ainsi $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}$, et $ABCD$ est un rectangle. ■

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À retenir

• Al-Kashi : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A})$ — généralise Pythagore.
• Réciproque : $\cos(\widehat{A}) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ pour calculer un angle.
• Angle obtus : si $\cos(\widehat{A}) < 0$, l'angle est obtus ; le côté opposé vérifie $a^2 > b^2 + c^2$.
• Pour prouver l'orthogonalité : montrer que le produit scalaire est nul.
• Le produit scalaire se développe avec les identités remarquables vectorielles.
• Cauchy-Schwarz : $|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|$, avec égalité ssi colinéaires.
• Formule de la médiane : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AM^2 - \frac{BC^2}{4}$ ($M$ milieu de $[BC]$).