Applications du produit scalaire
Produit scalaire
Applications du produit scalaire
Introduction
Le produit scalaire est bien plus qu'une formule de calcul : c'est un outil puissant qui permet de démontrer des propriétés géométriques, d'appliquer la formule d'Al-Kashi, et de résoudre des problèmes de distances et d'angles dans le plan.
Formule d'Al-Kashi (loi des cosinus)
Théorème
Dans un triangle $$a^2 = BC^2 = \|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2$$8 quelconque, avec les notations $$a^2 = BC^2 = \|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2$$9, $$= \|\overrightarrow{AC}\|^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + \|\overrightarrow{AB}\|^2$$0, $$= \|\overrightarrow{AC}\|^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + \|\overrightarrow{AB}\|^2$$1 :
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\widehat{A})$$
C'est la généralisation du théorème de Pythagore au cas des triangles non rectangles. Quand $$= \|\overrightarrow{AC}\|^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + \|\overrightarrow{AB}\|^2$$2, on retrouve $$= \|\overrightarrow{AC}\|^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + \|\overrightarrow{AB}\|^2$$3.
Démonstration par le produit scalaire
$$a^2 = BC^2 = \|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2$$
$$= \|\overrightarrow{AC}\|^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + \|\overrightarrow{AB}\|^2$$
$$= b^2 + c^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}$$
Or $$= \|\overrightarrow{AC}\|^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + \|\overrightarrow{AB}\|^2$$4, d'où le résultat.
Exemple
Dans un triangle $$= \|\overrightarrow{AC}\|^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + \|\overrightarrow{AB}\|^2$$5 avec $$= \|\overrightarrow{AC}\|^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + \|\overrightarrow{AB}\|^2$$6, $$= \|\overrightarrow{AC}\|^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + \|\overrightarrow{AB}\|^2$$7 et $$= \|\overrightarrow{AC}\|^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + \|\overrightarrow{AB}\|^2$$8 :
$$BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60° = 25 + 49 - 70 \times \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$$
$$BC = \sqrt{39} \approx 6{,}24$$
Réciproque : calculer un angle
On peut aussi utiliser Al-Kashi pour trouver un angle :
$$\cos(\widehat{A}) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$
Exemple : Triangle avec $$= \|\overrightarrow{AC}\|^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + \|\overrightarrow{AB}\|^2$$9, $$= b^2 + c^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}$$0, $$= b^2 + c^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}$$1.
$$\cos(\widehat{A}) = \frac{25 + 49 - 64}{2 \times 5 \times 7} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7} \approx 0{,}143$$
$$\widehat{A} = \arccos\left(\frac{1}{7}\right) \approx 81{,}8°$$
Formule des médianes
Théorème
Si $$= b^2 + c^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}$$2 est le milieu de $$= b^2 + c^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}$$3 dans le triangle $$= b^2 + c^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}$$4, alors :
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AM^2 - \frac{BC^2}{4}$$
Démonstration
$$a^2 = BC^2 = \|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2$$0
Comme $$= b^2 + c^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}$$5 :
$$a^2 = BC^2 = \|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2$$1
Démonstrations géométriques avec le produit scalaire
Exemple 1 : Diagonales d'un losange
Propriété : Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.
Preuve : Soit $$= b^2 + c^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}$$6 un losange ($$= b^2 + c^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}$$7). On montre que $$= b^2 + c^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}$$8.
$$a^2 = BC^2 = \|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2$$2
$$a^2 = BC^2 = \|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2$$3
car $$= b^2 + c^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}$$9 (parallélogramme).
$$a^2 = BC^2 = \|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2$$4
car $$BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60° = 25 + 49 - 70 \times \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$$0 (losange). Donc $$BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60° = 25 + 49 - 70 \times \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$$1. ■
Exemple 2 : Théorème de Pythagore
Si $$BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60° = 25 + 49 - 70 \times \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$$2 dans le triangle $$BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60° = 25 + 49 - 70 \times \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$$3, alors $$BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60° = 25 + 49 - 70 \times \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$$4.
$$a^2 = BC^2 = \|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2$$5
On retrouve le théorème de Pythagore. ✓
Projeté orthogonal
Définition
Le projeté orthogonal d'un point $$BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60° = 25 + 49 - 70 \times \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$$5 sur une droite $$BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60° = 25 + 49 - 70 \times \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$$6 est le point $$BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60° = 25 + 49 - 70 \times \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$$7 de $$BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60° = 25 + 49 - 70 \times \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$$8 tel que $$BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60° = 25 + 49 - 70 \times \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$$9.
Produit scalaire et projection
Si $$BC = \sqrt{39} \approx 6{,}24$$0 est le projeté orthogonal de $$BC = \sqrt{39} \approx 6{,}24$$1 sur la droite $$BC = \sqrt{39} \approx 6{,}24$$2, alors :
$$a^2 = BC^2 = \|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2$$6
si $$BC = \sqrt{39} \approx 6{,}24$$3 est du même côté que $$BC = \sqrt{39} \approx 6{,}24$$4 par rapport à $$BC = \sqrt{39} \approx 6{,}24$$5 (sinon le signe change).
Cette formule est utile pour calculer des longueurs de projections.
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Pour tous vecteurs $$BC = \sqrt{39} \approx 6{,}24$$6 et $$BC = \sqrt{39} \approx 6{,}24$$7 :
$$a^2 = BC^2 = \|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2$$7
avec égalité si et seulement si $$BC = \sqrt{39} \approx 6{,}24$$8 et $$BC = \sqrt{39} \approx 6{,}24$$9 sont colinéaires.
Cette inégalité découle de $$\cos(\widehat{A}) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$0.
À retenir
- Al-Kashi : $$\cos(\widehat{A}) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$1.
- Pour prouver l'orthogonalité : montrer que le produit scalaire est nul.
- Le produit scalaire se développe avec les identités remarquables vectorielles.
- Cauchy-Schwarz : $$\cos(\widehat{A}) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$2.