Variables aléatoires discrètes
Probabilités conditionnelles
Variables aléatoires discrètes
Introduction
Jusqu'ici, nous avons travaillé avec des événements (« obtenir un 6 », « le test est positif »). Une variable aléatoire permet de passer du qualitatif au quantitatif : on associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Cela ouvre la porte au calcul d'espérance, de variance et à la modélisation statistique.
Définition
Variable aléatoire
Soit $\Omega$ l'univers d'une expérience aléatoire. Une variable aléatoire discrète $X$ est une fonction :
$$X : \Omega \to \mathbb{R}$$
qui associe un nombre réel à chaque issue.
Loi de probabilité
La loi de probabilité de $X$ est la donnée de chaque valeur $x_i$ prise par $X$ et de la probabilité correspondante $P(X = x_i) = p_i$.
On la présente souvent sous forme de tableau :
| $x_i$ | $x_1$ | $x_2$ | $\cdots$ | $x_n$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $p_1$ | $p_2$ | $\cdots$ | $p_n$ |
Avec la condition : $\displaystyle\sum_{i=1}^n p_i = 1$.
Exemple
On lance deux dés et on note $X$ la somme des résultats. $X$ prend les valeurs $2, 3, 4, \ldots, 12$.
Par exemple : $P(X=7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$ (les couples $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$).
Espérance
Définition
L'espérance de $X$ est la moyenne pondérée de ses valeurs par leurs probabilités :
$$E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$$
L'espérance représente la valeur moyenne que prendrait $X$ si on répétait l'expérience un très grand nombre de fois.
Exemple
Un jeu consiste à lancer un dé équilibré. Si on obtient 6, on gagne 10 €. Sinon, on perd 2 €. Soit $X$ le gain.
| $x_i$ | $10$ | $-2$ |
|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{5}{6}$ |
$$E(X) = 10 \times \frac{1}{6} + (-2) \times \frac{5}{6} = \frac{10}{6} - \frac{10}{6} = 0$$
Le jeu est équitable : en moyenne, on ne gagne ni ne perd.
Propriété de linéarité
Pour tous réels $a$ et $b$ :
$$E(aX + b) = aE(X) + b$$
Variance et écart-type
Variance
La variance mesure la dispersion des valeurs de $X$ autour de son espérance :
$$V(X) = E\left[(X - E(X))^2\right] = \sum_{i=1}^n (x_i - E(X))^2 \cdot p_i$$
Formule de König-Huygens
En pratique, on utilise souvent la formule équivalente :
$$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$
où $E(X^2) = \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^2 \cdot p_i$.
Écart-type
L'écart-type est la racine carrée de la variance :
$$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$
Il s'exprime dans la même unité que $X$.
Exemple
Reprenons le jeu précédent ($E(X) = 0$).
$$E(X^2) = 10^2 \times \frac{1}{6} + (-2)^2 \times \frac{5}{6} = \frac{100}{6} + \frac{20}{6} = 20$$
$$V(X) = 20 - 0^2 = 20$$
$$\sigma(X) = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47 \text{ €}$$
Propriété
$$V(aX + b) = a^2 V(X) \qquad \text{et} \qquad \sigma(aX+b) = |a| \sigma(X)$$
Applications
Espérance d'un gain
Dans un jeu de hasard, l'espérance du gain permet de déterminer si le jeu est :
- Favorable au joueur si $E(X) > 0$.
- Équitable si $E(X) = 0$.
- Défavorable au joueur si $E(X) < 0$.
Exemple complet
Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On tire une boule. Si elle est blanche, on gagne 5 €. Si elle est noire, on perd 3 €. On paie 1 € pour jouer.
Soit $X$ le gain net.
| Issue | Blanche | Noire |
|---|---|---|
| Gain brut | $5$ | $-3$ |
| Gain net $X$ | $4$ | $-4$ |
| Probabilité | $\frac{4}{10} = 0{,}4$ | $\frac{6}{10} = 0{,}6$ |
$$E(X) = 4 \times 0{,}4 + (-4) \times 0{,}6 = 1{,}6 - 2{,}4 = -0{,}8$$
Le jeu est défavorable : en moyenne, on perd 0,80 € par partie.
Exercice résolu complet
On lance trois pièces équilibrées. Soit $X$ le nombre de « pile » obtenu.
a) Loi de $X$ :
| $x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{1}{8}$ |
b) Espérance :
$$E(X) = 0 \times \frac{1}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{8} = \frac{0 + 3 + 6 + 3}{8} = \frac{12}{8} = 1{,}5$$
c) Variance et écart-type :
$$E(X^2) = 0 \times \frac{1}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 4 \times \frac{3}{8} + 9 \times \frac{1}{8} = \frac{0+3+12+9}{8} = 3$$
$$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 3 - (1{,}5)^2 = 3 - 2{,}25 = 0{,}75$$
$$\sigma(X) = \sqrt{0{,}75} \approx 0{,}87$$
Méthode : calculer espérance et variance
- Dresser le tableau de la loi de $X$ : lister toutes les valeurs $x_i$ et leurs probabilités $p_i$.
- Vérifier que $\sum p_i = 1$.
- Calculer $E(X)$ : $\sum x_i p_i$.
- Calculer $E(X^2)$ : $\sum x_i^2 p_i$.
- En déduire $V(X)$ par König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
- Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.
- Interpréter : l'espérance donne la valeur « moyenne » ; l'écart-type mesure la dispersion.
À retenir
- $E(X) = \sum x_i p_i$ : « valeur moyenne » de $X$.
- $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ (formule de König-Huygens).
- $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ : dispersion dans la même unité que $X$.
- Linéarité : $E(aX+b) = aE(X)+b$ ; $V(aX+b) = a^2 V(X)$.