Variables aléatoires discrètes

Introduction

Jusqu'ici, nous avons travaillé avec des événements (« obtenir un 6 », « le test est positif »). Une variable aléatoire permet de passer du qualitatif au quantitatif : on associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Cela ouvre la porte au calcul d'espérance, de variance et à la modélisation statistique.

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Définition

Variable aléatoire

Soit $$E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$$2 l'univers d'une expérience aléatoire. Une variable aléatoire discrète $$E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$$3 est une fonction :

$$X : \Omega \to \mathbb{R}$$

qui associe un nombre réel à chaque issue.

Loi de probabilité

La loi de probabilité de $$E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$$4 est la donnée de chaque valeur $$E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$$5 prise par $$E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$$6 et de la probabilité correspondante $$E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$$7.

On la présente souvent sous forme de tableau :

$$E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$$8	$$E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$$9	$$E(X) = 10 \times \frac{1}{6} + (-2) \times \frac{5}{6} = \frac{10}{6} - \frac{10}{6} = 0$$0	$$E(X) = 10 \times \frac{1}{6} + (-2) \times \frac{5}{6} = \frac{10}{6} - \frac{10}{6} = 0$$1	$$E(X) = 10 \times \frac{1}{6} + (-2) \times \frac{5}{6} = \frac{10}{6} - \frac{10}{6} = 0$$2
$$E(X) = 10 \times \frac{1}{6} + (-2) \times \frac{5}{6} = \frac{10}{6} - \frac{10}{6} = 0$$3	$$E(X) = 10 \times \frac{1}{6} + (-2) \times \frac{5}{6} = \frac{10}{6} - \frac{10}{6} = 0$$4	$$E(X) = 10 \times \frac{1}{6} + (-2) \times \frac{5}{6} = \frac{10}{6} - \frac{10}{6} = 0$$5	$$E(X) = 10 \times \frac{1}{6} + (-2) \times \frac{5}{6} = \frac{10}{6} - \frac{10}{6} = 0$$6	$$E(X) = 10 \times \frac{1}{6} + (-2) \times \frac{5}{6} = \frac{10}{6} - \frac{10}{6} = 0$$7

Avec la condition : $$E(X) = 10 \times \frac{1}{6} + (-2) \times \frac{5}{6} = \frac{10}{6} - \frac{10}{6} = 0$$8.

Exemple

On lance deux dés et on note $$E(X) = 10 \times \frac{1}{6} + (-2) \times \frac{5}{6} = \frac{10}{6} - \frac{10}{6} = 0$$9 la somme des résultats. $$E(aX + b) = aE(X) + b$$0 prend les valeurs $$E(aX + b) = aE(X) + b$$1.

Par exemple : $$E(aX + b) = aE(X) + b$$2 (les couples $$E(aX + b) = aE(X) + b$$3).

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Espérance

Définition

L'espérance de $$E(aX + b) = aE(X) + b$$4 est la moyenne pondérée de ses valeurs par leurs probabilités :

$$E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$$

L'espérance représente la valeur moyenne que prendrait $$E(aX + b) = aE(X) + b$$5 si on répétait l'expérience un très grand nombre de fois.

Exemple

Un jeu consiste à lancer un dé équilibré. Si on obtient 6, on gagne 10 €. Sinon, on perd 2 €. Soit $$E(aX + b) = aE(X) + b$$6 le gain.

$$E(aX + b) = aE(X) + b$$7	$$E(aX + b) = aE(X) + b$$8	$$E(aX + b) = aE(X) + b$$9
$$V(X) = E\left[(X - E(X))^2\right] = \sum_{i=1}^n (x_i - E(X))^2 \cdot p_i$$0	$$V(X) = E\left[(X - E(X))^2\right] = \sum_{i=1}^n (x_i - E(X))^2 \cdot p_i$$1	$$V(X) = E\left[(X - E(X))^2\right] = \sum_{i=1}^n (x_i - E(X))^2 \cdot p_i$$2

$$E(X) = 10 \times \frac{1}{6} + (-2) \times \frac{5}{6} = \frac{10}{6} - \frac{10}{6} = 0$$

Le jeu est équitable : en moyenne, on ne gagne ni ne perd.

Propriété de linéarité

Pour tous réels $$V(X) = E\left[(X - E(X))^2\right] = \sum_{i=1}^n (x_i - E(X))^2 \cdot p_i$$3 et $$V(X) = E\left[(X - E(X))^2\right] = \sum_{i=1}^n (x_i - E(X))^2 \cdot p_i$$4 :

$$E(aX + b) = aE(X) + b$$

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Variance et écart-type

Variance

La variance mesure la dispersion des valeurs de $$V(X) = E\left[(X - E(X))^2\right] = \sum_{i=1}^n (x_i - E(X))^2 \cdot p_i$$5 autour de son espérance :

$$V(X) = E\left[(X - E(X))^2\right] = \sum_{i=1}^n (x_i - E(X))^2 \cdot p_i$$

Formule de König-Huygens

En pratique, on utilise souvent la formule équivalente :

$$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

où $$V(X) = E\left[(X - E(X))^2\right] = \sum_{i=1}^n (x_i - E(X))^2 \cdot p_i$$6.

Écart-type

L'écart-type est la racine carrée de la variance :

$$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$

Il s'exprime dans la même unité que $$V(X) = E\left[(X - E(X))^2\right] = \sum_{i=1}^n (x_i - E(X))^2 \cdot p_i$$7.

Exemple

Reprenons le jeu précédent ($$V(X) = E\left[(X - E(X))^2\right] = \sum_{i=1}^n (x_i - E(X))^2 \cdot p_i$$8).

$$E(X^2) = 10^2 \times \frac{1}{6} + (-2)^2 \times \frac{5}{6} = \frac{100}{6} + \frac{20}{6} = 20$$

$$V(X) = 20 - 0^2 = 20$$

$$\sigma(X) = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47 \text{ €}$$

Propriété

$$E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$$0

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Applications

Espérance d'un gain

Dans un jeu de hasard, l'espérance du gain permet de déterminer si le jeu est :
- Favorable au joueur si $$V(X) = E\left[(X - E(X))^2\right] = \sum_{i=1}^n (x_i - E(X))^2 \cdot p_i$$9.
- Équitable si $$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$0.
- Défavorable au joueur si $$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$1.

Exemple complet

Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On tire une boule. Si elle est blanche, on gagne 5 €. Si elle est noire, on perd 3 €. On paie 1 € pour jouer.

Soit $$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$2 le gain net.

Issue	Blanche	Noire
Gain brut	$$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$3	$$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$4
Gain net $$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$5	$$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$6	$$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$7
Probabilité	$$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$8	$$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$9

$$E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$$1

Le jeu est défavorable : en moyenne, on perd 0,80 € par partie.

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À retenir

• $$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$0 : « valeur moyenne » de $$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$1.
• $$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$2 (formule de König-Huygens).
• $$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$3 : dispersion dans la même unité que $$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$4.
• Linéarité : $$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$5 ; $$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$6.