Probabilités conditionnelles et indépendance

Introduction

En classe de Seconde, vous avez étudié les probabilités d'événements simples. En Première, on enrichit ce cadre en introduisant la probabilité conditionnelle : la probabilité qu'un événement se réalise sachant qu'un autre événement a eu lieu. Cette notion est essentielle en statistiques, en médecine (tests de dépistage) et en sciences de l'information.

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Probabilité conditionnelle

Définition

Soit $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(\{6\})}{P(\{2,4,6\})} = \frac{1/6}{3/6} = \frac{1}{3}$$1 un événement de probabilité non nulle ($$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(\{6\})}{P(\{2,4,6\})} = \frac{1/6}{3/6} = \frac{1}{3}$$2). La probabilité conditionnelle de $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(\{6\})}{P(\{2,4,6\})} = \frac{1/6}{3/6} = \frac{1}{3}$$3 sachant $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(\{6\})}{P(\{2,4,6\})} = \frac{1/6}{3/6} = \frac{1}{3}$$4 est :

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Interprétation : $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(\{6\})}{P(\{2,4,6\})} = \frac{1/6}{3/6} = \frac{1}{3}$$5 mesure la probabilité de $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(\{6\})}{P(\{2,4,6\})} = \frac{1/6}{3/6} = \frac{1}{3}$$6 lorsqu'on sait que $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(\{6\})}{P(\{2,4,6\})} = \frac{1/6}{3/6} = \frac{1}{3}$$7 est réalisé. L'univers « se réduit » à $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(\{6\})}{P(\{2,4,6\})} = \frac{1/6}{3/6} = \frac{1}{3}$$8.

Exemple fondateur

On lance un dé équilibré. Soit $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(\{6\})}{P(\{2,4,6\})} = \frac{1/6}{3/6} = \frac{1}{3}$$9 = « obtenir 6 » et $$P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$$0 = « obtenir un nombre pair ».

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(\{6\})}{P(\{2,4,6\})} = \frac{1/6}{3/6} = \frac{1}{3}$$

Sachant que le résultat est pair, il y a une chance sur trois d'avoir obtenu 6.

Propriété multiplicative

De la définition, on déduit immédiatement :

$$P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$$

Cette formule est très utile pour calculer $$P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$$1 à partir d'un arbre pondéré.

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Arbres pondérés

Un arbre pondéré (ou arbre de probabilité) est un outil graphique permettant de représenter et calculer des probabilités conditionnelles.

Règles de construction

1. Chaque branche porte la probabilité de l'événement sachant le nœud parent.
2. La somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1.
3. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités le long des branches.
4. $$P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$$2 est la somme des probabilités des chemins menant à $$P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$$3.

Exemple

Un sac contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire deux boules successivement sans remise.

Premier tirage : $$P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$$4, $$P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$$5.

Deuxième tirage sachant $$P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$$6 : $$P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$$7, $$P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$$8.

Deuxième tirage sachant $$P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$$9 : $$P(R_1 \cap R_2) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$$0, $$P(R_1 \cap R_2) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$$1.

Ainsi :

$$P(R_1 \cap R_2) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$$

$$P(\text{deux boules de même couleur}) = P(R_1 \cap R_2) + P(V_1 \cap V_2) = \frac{3}{10} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$

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Formule des probabilités totales

Théorème

Si $$P(R_1 \cap R_2) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$$2 forment une partition de l'univers $$P(R_1 \cap R_2) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$$3 (événements incompatibles dont la réunion est $$P(R_1 \cap R_2) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$$4, chacun de probabilité non nulle), alors pour tout événement $$P(R_1 \cap R_2) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$$5 :

$$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)$$

Cas usuel : partition en deux

$$P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B})$$

Exemple

Un test de dépistage a les caractéristiques suivantes :
- Prévalence de la maladie : $$P(R_1 \cap R_2) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$$6.
- Le test est positif chez un malade : $$P(R_1 \cap R_2) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$$7.
- Le test est positif chez un non-malade : $$P(R_1 \cap R_2) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$$8.

Quelle est la probabilité d'avoir un test positif ?

$$P(T^+) = P(T^+|M) \cdot P(M) + P(T^+|\overline{M}) \cdot P(\overline{M})$$
$$= 0{,}95 \times 0{,}02 + 0{,}03 \times 0{,}98 = 0{,}019 + 0{,}0294 = 0{,}0484$$

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Indépendance

Définition

Deux événements $$P(R_1 \cap R_2) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$$9 et $$P(\text{deux boules de même couleur}) = P(R_1 \cap R_2) + P(V_1 \cap V_2) = \frac{3}{10} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$0 sont indépendants si et seulement si :

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

L'indépendance signifie que la réalisation de $$P(\text{deux boules de même couleur}) = P(R_1 \cap R_2) + P(V_1 \cap V_2) = \frac{3}{10} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$1 ne modifie pas la probabilité de $$P(\text{deux boules de même couleur}) = P(R_1 \cap R_2) + P(V_1 \cap V_2) = \frac{3}{10} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$2 : $$P(\text{deux boules de même couleur}) = P(R_1 \cap R_2) + P(V_1 \cap V_2) = \frac{3}{10} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$3.

Vérification

Exemple : On lance deux dés. Soit $$P(\text{deux boules de même couleur}) = P(R_1 \cap R_2) + P(V_1 \cap V_2) = \frac{3}{10} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$4 = « le premier dé donne 6 » et $$P(\text{deux boules de même couleur}) = P(R_1 \cap R_2) + P(V_1 \cap V_2) = \frac{3}{10} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$5 = « le deuxième dé donne un nombre pair ».

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(\{6\})}{P(\{2,4,6\})} = \frac{1/6}{3/6} = \frac{1}{3}$$0

Comme $$P(\text{deux boules de même couleur}) = P(R_1 \cap R_2) + P(V_1 \cap V_2) = \frac{3}{10} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$6, les événements $$P(\text{deux boules de même couleur}) = P(R_1 \cap R_2) + P(V_1 \cap V_2) = \frac{3}{10} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$7 et $$P(\text{deux boules de même couleur}) = P(R_1 \cap R_2) + P(V_1 \cap V_2) = \frac{3}{10} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$8 sont indépendants. ✓

Propriété

Si $$P(\text{deux boules de même couleur}) = P(R_1 \cap R_2) + P(V_1 \cap V_2) = \frac{3}{10} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$9 et $$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)$$0 sont indépendants, alors $$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)$$1 et $$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)$$2 sont aussi indépendants (de même $$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)$$3 et $$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)$$4, et $$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)$$5 et $$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)$$6).

Attention

L'indépendance n'est pas l'incompatibilité ! Deux événements incompatibles ($$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)$$7) de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.

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À retenir

• $$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)$$8 (avec $$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)$$9).
• $$P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B})$$0.
• Probabilités totales : $$P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B})$$1.
• Indépendance : $$P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B})$$2.
• Incompatibilité $$P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B})$$3 indépendance.