Loi binomiale
Probabilités conditionnelles
Loi binomiale
Introduction
La loi binomiale est la loi de probabilité la plus courante en classe de Première. Elle modélise le nombre de succès dans une répétition d'épreuves indépendantes à deux issues. On la retrouve dans de nombreuses situations : contrôle qualité, sondages, tests médicaux, jeux de hasard.
Épreuve de Bernoulli
Définition
Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ est une expérience aléatoire à exactement deux issues :
- Succès (S) de probabilité $p$.
- Échec (E) de probabilité $q = 1 - p$.
Variable de Bernoulli
On associe à cette épreuve la variable aléatoire $X$ :
$$X = \begin{cases} 1 & \text{si succès} \\ 0 & \text{si échec} \end{cases}$$
Sa loi : $P(X=1) = p$ et $P(X=0) = 1-p$.
$$E(X) = p \qquad V(X) = p(1-p)$$
Schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli consiste en la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
On note $X$ le nombre de succès obtenus au cours des $n$ épreuves.
$X$ peut prendre les valeurs $0, 1, 2, \ldots, n$.
Coefficients binomiaux
Définition
Le nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$ est le coefficient binomial :
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$
où $n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$ (factorielle de $n$), avec $0! = 1$.
Exemples
$$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$$
$$\binom{6}{0} = 1 \qquad \binom{6}{6} = 1 \qquad \binom{6}{1} = 6$$
Propriétés
- $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$
- $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ (symétrie)
- Triangle de Pascal : $\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}$
Loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$
Théorème
Si $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, alors :
$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \qquad \text{pour } k = 0, 1, \ldots, n$$
Interprétation
$\binom{n}{k}$ compte le nombre de chemins ayant exactement $k$ succès parmi $n$ épreuves.
$p^k$ est la probabilité des $k$ succès.
$(1-p)^{n-k}$ est la probabilité des $n-k$ échecs.
Exemple
On lance 5 fois une pièce équilibrée ($p = 0{,}5$). Soit $X$ le nombre de « pile ».
$X \sim \mathcal{B}(5 \;; 0{,}5)$.
$$P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot (0{,}5)^3 \cdot (0{,}5)^2 = 10 \times 0{,}125 \times 0{,}25 = 0{,}3125$$
$$P(X = 0) = \binom{5}{0} \cdot (0{,}5)^0 \cdot (0{,}5)^5 = 1 \times 1 \times 0{,}03125 = 0{,}03125$$
Espérance, variance, écart-type
Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ :
$$E(X) = np$$
$$V(X) = np(1-p)$$
$$\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$$
Exemple
Un QCM de 20 questions a 4 réponses possibles par question. Un élève répond au hasard. Soit $X$ le nombre de bonnes réponses.
$X \sim \mathcal{B}\left(20 \;; \frac{1}{4}\right)$.
$$E(X) = 20 \times \frac{1}{4} = 5$$
$$V(X) = 20 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{15}{4} = 3{,}75$$
$$\sigma(X) = \sqrt{3{,}75} \approx 1{,}94$$
En moyenne, l'élève obtient 5 bonnes réponses.
Calculer $P(X \leq k)$ et $P(X \geq k)$
Probabilité cumulée
$$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}$$
Complément
$$P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$$
Exemple
Avec $X \sim \mathcal{B}(5 \;; 0{,}5)$, calculons $P(X \geq 3)$ :
$$P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$$
$$= 1 - \left[\frac{1}{32} + \frac{5}{32} + \frac{10}{32}\right] = 1 - \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$$
Application : contrôle qualité
Une usine produit des pièces dont 5 % sont défectueuses. On prélève un échantillon de 10 pièces. Soit $X$ le nombre de pièces défectueuses.
$X \sim \mathcal{B}(10 \;; 0{,}05)$.
$$P(X = 0) = \binom{10}{0} (0{,}05)^0 (0{,}95)^{10} = (0{,}95)^{10} \approx 0{,}599$$
$$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) \approx 1 - 0{,}599 = 0{,}401$$
Il y a environ 40 % de chances de trouver au moins une pièce défectueuse dans l'échantillon.
Exercice résolu : sondage
Un sondage interroge 100 personnes. On estime que 60 % de la population est favorable à une mesure. Soit $X$ le nombre de personnes favorables dans l'échantillon.
$X \sim \mathcal{B}(100 \;; 0{,}6)$.
a) Espérance, variance et écart-type :
$$E(X) = 100 \times 0{,}6 = 60$$
$$V(X) = 100 \times 0{,}6 \times 0{,}4 = 24$$
$$\sigma(X) = \sqrt{24} \approx 4{,}9$$
b) On s'attend à environ 60 personnes favorables, avec un écart-type d'environ 5.
Reconnaître une situation de loi binomiale
Pour qu'une variable aléatoire $X$ suive une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, il faut vérifier quatre conditions :
- On répète $n$ épreuves identiques.
- Chaque épreuve a exactement deux issues (succès/échec).
- La probabilité de succès $p$ est constante d'une épreuve à l'autre.
- Les épreuves sont indépendantes.
Contre-exemple : Un tirage de boules sans remise ne suit pas une loi binomiale (la probabilité change à chaque tirage). En revanche, un tirage avec remise vérifie les quatre conditions.
Exercice résolu : QCM au hasard
Un QCM comporte 10 questions à 4 choix. Un élève répond au hasard. Soit $X$ le nombre de bonnes réponses.
$X \sim \mathcal{B}\left(10 \;; 0{,}25\right)$.
$$P(X = 0) = (0{,}75)^{10} \approx 0{,}056$$
$$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) \approx 0{,}944$$
$$E(X) = 10 \times 0{,}25 = 2{,}5$$
En moyenne, l'élève obtient 2,5 bonnes réponses sur 10 en répondant au hasard.
À retenir
- Épreuve de Bernoulli : deux issues, succès ($p$) et échec ($1-p$).
- Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ : $P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.
- $E(X) = np$, $V(X) = np(1-p)$, $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$.
- $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.