Problèmes de géométrie analytique
Géométrie repérée
Problèmes de géométrie analytique
Introduction
La géométrie analytique combine les outils algébriques (équations, coordonnées, produit scalaire) avec le raisonnement géométrique. Cette leçon propose des méthodes de résolution systématiques et des exemples de problèmes types rencontrés en Première.
Méthode générale
Face à un problème de géométrie analytique, on suit souvent ces étapes :
- Placer un repère (souvent orthonormé, parfois donné).
- Traduire les données géométriques en coordonnées.
- Calculer (distances, produits scalaires, équations).
- Conclure en revenant à l'interprétation géométrique.
Problème 1 : Nature d'un quadrilatère
Énoncé : Soit $A(1 ; 2)$, $B(4 ; 6)$, $C(8 ; 3)$ et $D(5 ; -1)$. Déterminer la nature du quadrilatère $ABCD$.
Étape 1 : Vecteurs côtés
$$\overrightarrow{AB}(3 ; 4) \qquad \overrightarrow{DC}(3 ; 4)$$
$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$$, donc $ABCD$ est un parallélogramme.
Étape 2 : Est-ce un rectangle ?
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = (3)(4) + (4)(-3) = 12 - 12 = 0$$
avec $\overrightarrow{AD}(4 ; -3)$.
$\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}$, donc $ABCD$ est un rectangle.
Étape 3 : Est-ce un carré ?
$$AB = \sqrt{9 + 16} = 5 \qquad AD = \sqrt{16 + 9} = 5$$
$AB = AD$, donc $ABCD$ est un carré. ■
Problème 2 : Ensemble de points
Énoncé : On considère $A(1 ; 0)$ et $B(3 ; 0)$. Déterminer l'ensemble des points $M(x ; y)$ tels que $MA^2 - MB^2 = 8$.
Calcul :
$$MA^2 = (x-1)^2 + y^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2$$
$$MB^2 = (x-3)^2 + y^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$$
$$MA^2 - MB^2 = (x^2 - 2x + 1 + y^2) - (x^2 - 6x + 9 + y^2) = 4x - 8$$
$$4x - 8 = 8 \iff x = 4$$
L'ensemble cherché est la droite verticale d'équation $x = 4$.
Remarque : On pouvait utiliser la formule $MA^2 - MB^2 = 2\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BI}$ où $I$ est le milieu de $[AB]$, mais le calcul direct est ici plus rapide.
Problème 3 : Intersection de droites et cercle
Énoncé : Soit le cercle $\mathcal{C}$ d'équation $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 20$ et la droite $(d)$ d'équation $2x + y - 7 = 0$.
a) Vérifier que la droite est sécante au cercle.
Distance du centre $\Omega(1 ; 2)$ à $(d)$ :
$$d(\Omega, (d)) = \frac{|2 \times 1 + 1 \times 2 - 7|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|-3|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \approx 1{,}34$$
Comme $r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47 > 1{,}34$, la droite est bien sécante au cercle.
b) Trouver les points d'intersection.
De $(d)$ : $y = 7 - 2x$. On substitue :
$$(x-1)^2 + (7-2x-2)^2 = 20$$
$$(x-1)^2 + (5-2x)^2 = 20$$
$$x^2 - 2x + 1 + 25 - 20x + 4x^2 = 20$$
$$5x^2 - 22x + 6 = 0$$
$$\Delta = 484 - 120 = 364$$
$$x = \frac{22 \pm \sqrt{364}}{10} = \frac{22 \pm 2\sqrt{91}}{10} = \frac{11 \pm \sqrt{91}}{5}$$
Problème 4 : Médiatrice et cercle circonscrit
Énoncé : Trouver le cercle circonscrit au triangle $A(0 ; 0)$, $B(6 ; 0)$, $C(2 ; 4)$.
Méthode : Le centre du cercle circonscrit est l'intersection des médiatrices.
Médiatrice de $[AB]$ : Milieu $I(3 ; 0)$, vecteur directeur de $AB$ : $\vec{u}(6 ; 0)$, donc la médiatrice est perpendiculaire avec vecteur normal $(6 ; 0)$ :
$$6(x - 3) + 0(y - 0) = 0 \iff x = 3$$
Médiatrice de $[AC]$ : Milieu $J(1 ; 2)$, $\overrightarrow{AC}(2 ; 4)$ est vecteur normal :
$$2(x - 1) + 4(y - 2) = 0 \iff 2x + 4y - 10 = 0 \iff x + 2y = 5$$
Intersection : $x = 3$ et $x + 2y = 5 \implies 3 + 2y = 5 \implies y = 1$.
Centre $\Omega(3 ; 1)$, rayon $r = \Omega A = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
Équation : $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 10$.
Vérification : $\Omega B = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ ✓ et $\Omega C = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ ✓.
Problème 5 : Lieu géométrique avec produit scalaire
Énoncé : Soit $A(0 ; 0)$ et $B(4 ; 0)$. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.
Avec $M(x ; y)$ :
$$\overrightarrow{MA}(-x ; -y) \qquad \overrightarrow{MB}(4-x ; -y)$$
$$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (-x)(4-x) + (-y)(-y) = -4x + x^2 + y^2 = 0$$
$$x^2 + y^2 - 4x = 0 \iff (x - 2)^2 + y^2 = 4$$
C'est le cercle de diamètre $[AB]$, de centre $(2 ; 0)$ et de rayon 2. ✓
Résumé des méthodes
| Objectif | Outil principal |
|---|---|
| Nature d'un quadrilatère | Vecteurs côtés, produit scalaire, normes |
| Ensemble de points ($MA^2 + MB^2 = k$, etc.) | Calcul direct en coordonnées |
| Intersection droite-cercle | Substitution → second degré |
| Cercle circonscrit | Intersection de deux médiatrices |
| Lieu géométrique ($\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$) | Produit scalaire en coordonnées |
À retenir
- En géométrie analytique, on traduit le problème en coordonnées, on calcule, puis on interprète.
- Le produit scalaire, les distances et les équations de droites/cercles sont les outils centraux.
- Pour un cercle de diamètre $[AB]$ : $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.
- Le cercle circonscrit a son centre à l'intersection des médiatrices.