Équation de droite et vecteur normal
Géométrie repérée
Équation de droite et vecteur normal
Introduction
La géométrie repérée (ou analytique) consiste à étudier les figures géométriques à l'aide de coordonnées dans un repère. Dans cette leçon, nous reprenons les équations de droites et introduisons la notion de vecteur normal, qui fait le lien avec le produit scalaire.
Rappels sur l'équation de droite
Équation réduite
Une droite non verticale admet une équation de la forme :
$$y = mx + p$$
où $$ax + by + c = 0$$1 est le coefficient directeur (pente) et $$ax + by + c = 0$$2 l'ordonnée à l'origine.
Équation cartésienne
Toute droite du plan admet une équation de la forme :
$$ax + by + c = 0$$
où $$ax + by + c = 0$$3, $$ax + by + c = 0$$4, $$ax + by + c = 0$$5 sont des réels avec $$ax + by + c = 0$$6.
Les droites verticales ($$ax + by + c = 0$$7) s'expriment sous la forme $$ax + by + c = 0$$8.
Passage d'une forme à l'autre
Si $$ax + by + c = 0$$9 : $$\vec{u} \cdot \vec{n} = (-b) \times a + a \times b = -ab + ab = 0 \quad \checkmark$$0, donc $$\vec{u} \cdot \vec{n} = (-b) \times a + a \times b = -ab + ab = 0 \quad \checkmark$$1 et $$\vec{u} \cdot \vec{n} = (-b) \times a + a \times b = -ab + ab = 0 \quad \checkmark$$2.
Vecteur directeur et vecteur normal
Vecteur directeur
Un vecteur $$\vec{u} \cdot \vec{n} = (-b) \times a + a \times b = -ab + ab = 0 \quad \checkmark$$3 est directeur de la droite $$\vec{u} \cdot \vec{n} = (-b) \times a + a \times b = -ab + ab = 0 \quad \checkmark$$4 s'il est parallèle à $$\vec{u} \cdot \vec{n} = (-b) \times a + a \times b = -ab + ab = 0 \quad \checkmark$$5.
Si $$\vec{u} \cdot \vec{n} = (-b) \times a + a \times b = -ab + ab = 0 \quad \checkmark$$6 a pour équation $$\vec{u} \cdot \vec{n} = (-b) \times a + a \times b = -ab + ab = 0 \quad \checkmark$$7, alors $$\vec{u} \cdot \vec{n} = (-b) \times a + a \times b = -ab + ab = 0 \quad \checkmark$$8 est un vecteur directeur de $$\vec{u} \cdot \vec{n} = (-b) \times a + a \times b = -ab + ab = 0 \quad \checkmark$$9.
Vecteur normal
Un vecteur $$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$$0 est normal à la droite $$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$$1 s'il est perpendiculaire à tout vecteur directeur de $$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$$2.
Si $$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$$3 a pour équation $$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$$4, alors $$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$$5 est un vecteur normal de $$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$$6.
Remarque : Le vecteur normal se lit directement sur les coefficients de l'équation cartésienne.
Vérification par le produit scalaire
$$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$$7 et $$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$$8 :
$$\vec{u} \cdot \vec{n} = (-b) \times a + a \times b = -ab + ab = 0 \quad \checkmark$$
Déterminer une équation de droite
Méthode 1 : Avec un point et un vecteur normal
La droite passant par $$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$$9 de vecteur normal $$ax + by + c = 0 \quad \text{avec } c = -ax_0 - by_0$$0 a pour équation :
$$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$$
soit :
$$ax + by + c = 0 \quad \text{avec } c = -ax_0 - by_0$$
Exemple : Droite passant par $$ax + by + c = 0 \quad \text{avec } c = -ax_0 - by_0$$1 de vecteur normal $$ax + by + c = 0 \quad \text{avec } c = -ax_0 - by_0$$2 :
$$2(x - 1) + (-5)(y - 3) = 0 \iff 2x - 5y + 13 = 0$$
Méthode 2 : Avec un point et un vecteur directeur
La droite passant par $$ax + by + c = 0 \quad \text{avec } c = -ax_0 - by_0$$3 de vecteur directeur $$ax + by + c = 0 \quad \text{avec } c = -ax_0 - by_0$$4 a pour équation :
$$\beta(x - x_0) - \alpha(y - y_0) = 0$$
Exemple : Droite passant par $$ax + by + c = 0 \quad \text{avec } c = -ax_0 - by_0$$5 de vecteur directeur $$ax + by + c = 0 \quad \text{avec } c = -ax_0 - by_0$$6 :
$$4(x - 2) - 3(y + 1) = 0 \iff 4x - 3y - 11 = 0$$
Méthode 3 : Avec deux points
La droite passant par $$ax + by + c = 0 \quad \text{avec } c = -ax_0 - by_0$$7 et $$ax + by + c = 0 \quad \text{avec } c = -ax_0 - by_0$$8 a pour vecteur directeur $$ax + by + c = 0 \quad \text{avec } c = -ax_0 - by_0$$9.
Exemple : Droite $$2(x - 1) + (-5)(y - 3) = 0 \iff 2x - 5y + 13 = 0$$0 avec $$2(x - 1) + (-5)(y - 3) = 0 \iff 2x - 5y + 13 = 0$$1 et $$2(x - 1) + (-5)(y - 3) = 0 \iff 2x - 5y + 13 = 0$$2 :
$$2(x - 1) + (-5)(y - 3) = 0 \iff 2x - 5y + 13 = 0$$3, d'où $$2(x - 1) + (-5)(y - 3) = 0 \iff 2x - 5y + 13 = 0$$4 (ou simplifié $$2(x - 1) + (-5)(y - 3) = 0 \iff 2x - 5y + 13 = 0$$5).
$$1(x - 1) + 1(y - 2) = 0 \iff x + y - 3 = 0$$
Distance d'un point à une droite
Formule
La distance du point $$2(x - 1) + (-5)(y - 3) = 0 \iff 2x - 5y + 13 = 0$$6 à la droite $$2(x - 1) + (-5)(y - 3) = 0 \iff 2x - 5y + 13 = 0$$7 est :
$$d(M, (d)) = \frac{|ax_M + by_M + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
Démonstration (esquisse)
Si $$2(x - 1) + (-5)(y - 3) = 0 \iff 2x - 5y + 13 = 0$$8 est le projeté orthogonal de $$2(x - 1) + (-5)(y - 3) = 0 \iff 2x - 5y + 13 = 0$$9 sur $$\beta(x - x_0) - \alpha(y - y_0) = 0$$0, alors $$\beta(x - x_0) - \alpha(y - y_0) = 0$$1. On montre que $$\beta(x - x_0) - \alpha(y - y_0) = 0$$2 où $$\beta(x - x_0) - \alpha(y - y_0) = 0$$3, et donc $$\beta(x - x_0) - \alpha(y - y_0) = 0$$4.
Exemple
Distance de $$\beta(x - x_0) - \alpha(y - y_0) = 0$$5 à la droite $$\beta(x - x_0) - \alpha(y - y_0) = 0$$6 :
$$ax + by + c = 0$$0
Positions relatives de deux droites
Soient $$\beta(x - x_0) - \alpha(y - y_0) = 0$$7 et $$\beta(x - x_0) - \alpha(y - y_0) = 0$$8.
| Relation | Condition |
|---|---|
| Sécantes | $$\beta(x - x_0) - \alpha(y - y_0) = 0$$9 et $$4(x - 2) - 3(y + 1) = 0 \iff 4x - 3y - 11 = 0$$0 non colinéaires |
| Parallèles | $$4(x - 2) - 3(y + 1) = 0 \iff 4x - 3y - 11 = 0$$1 et $$4(x - 2) - 3(y + 1) = 0 \iff 4x - 3y - 11 = 0$$2 colinéaires ($$4(x - 2) - 3(y + 1) = 0 \iff 4x - 3y - 11 = 0$$3) |
| Confondues | Parallèles et un point commun |
| Perpendiculaires | $$4(x - 2) - 3(y + 1) = 0 \iff 4x - 3y - 11 = 0$$4 (soit $$4(x - 2) - 3(y + 1) = 0 \iff 4x - 3y - 11 = 0$$5) |
Exemple
$$4(x - 2) - 3(y + 1) = 0 \iff 4x - 3y - 11 = 0$$6 et $$4(x - 2) - 3(y + 1) = 0 \iff 4x - 3y - 11 = 0$$7.
$$4(x - 2) - 3(y + 1) = 0 \iff 4x - 3y - 11 = 0$$8 et $$4(x - 2) - 3(y + 1) = 0 \iff 4x - 3y - 11 = 0$$9 : $$1(x - 1) + 1(y - 2) = 0 \iff x + y - 3 = 0$$0.
Les droites sont perpendiculaires.
À retenir
- Droite $$1(x - 1) + 1(y - 2) = 0 \iff x + y - 3 = 0$$1 : vecteur normal $$1(x - 1) + 1(y - 2) = 0 \iff x + y - 3 = 0$$2, vecteur directeur $$1(x - 1) + 1(y - 2) = 0 \iff x + y - 3 = 0$$3.
- Droite par $$1(x - 1) + 1(y - 2) = 0 \iff x + y - 3 = 0$$4 de vecteur normal $$1(x - 1) + 1(y - 2) = 0 \iff x + y - 3 = 0$$5 : $$1(x - 1) + 1(y - 2) = 0 \iff x + y - 3 = 0$$6.
- Distance point-droite : $$1(x - 1) + 1(y - 2) = 0 \iff x + y - 3 = 0$$7.
- Perpendiculaires $$1(x - 1) + 1(y - 2) = 0 \iff x + y - 3 = 0$$8 $$1(x - 1) + 1(y - 2) = 0 \iff x + y - 3 = 0$$9.