Équation de cercle
Géométrie repérée
Équation de cercle
Introduction
Après les droites, le cercle est la deuxième figure fondamentale de la géométrie repérée. Son équation cartésienne permet de résoudre de nombreux problèmes : appartenance d'un point, intersection cercle-droite, tangente, etc.
Équation cartésienne d'un cercle
Définition
Le cercle de centre $\Omega(a ; b)$ et de rayon $r > 0$ est l'ensemble des points $M(x ; y)$ tels que $\Omega M = r$, soit :
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$
C'est l'équation cartésienne du cercle.
Exemples
- Cercle de centre $O(0 ; 0)$ et de rayon 1 (cercle unité) : $x^2 + y^2 = 1$.
- Cercle de centre $A(2 ; -3)$ et de rayon 5 : $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$.
Vérifier qu'un point appartient à un cercle
Le point $M(5 ; 1)$ appartient-il au cercle $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$ ?
$$(5-2)^2 + (1+3)^2 = 9 + 16 = 25 \quad \checkmark$$
Oui, $M$ appartient au cercle.
Forme développée
En développant l'équation $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ :
$$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2$$
$$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0$$
On obtient la forme développée :
$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$
avec $D = -2a$, $E = -2b$, $F = a^2 + b^2 - r^2$.
Réciproquement
À partir de $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$, on retrouve le centre et le rayon en complétant le carré :
$$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$$
- Centre : $\Omega\left(-\frac{D}{2} ; -\frac{E}{2}\right)$.
- Rayon : $r = \frac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$ (à condition que $D^2 + E^2 - 4F > 0$).
Exemple complet
Identifier le cercle $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$.
$$\left(x^2 - 6x + 9\right) + \left(y^2 + 4y + 4\right) = 12 + 9 + 4$$
$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$
Centre $\Omega(3 ; -2)$, rayon $r = 5$.
Cercle de diamètre $[AB]$
Théorème
Le cercle de diamètre $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.
C'est une conséquence directe du théorème de Thalès dans le cercle : l'angle inscrit dans un demi-cercle est droit.
Démonstration
$M$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$ $\iff$ $\widehat{AMB} = 90°$ $\iff$ $\overrightarrow{MA} \perp \overrightarrow{MB}$ $\iff$ $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.
Équation
Si $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$, le cercle de diamètre $[AB]$ a pour équation :
$$(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0$$
Exemple : Cercle de diamètre $[AB]$ avec $A(1 ; 3)$ et $B(5 ; -1)$ :
$$(x-1)(x-5) + (y-3)(y+1) = 0$$
$$x^2 - 6x + 5 + y^2 - 2y - 3 = 0$$
$$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 2 = 0$$
Centre : milieu de $[AB]$ soit $(3 ; 1)$, rayon : $\frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{16+16}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.
Tangente à un cercle
Propriété
La tangente au cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega$ en un point $M_0$ du cercle est la droite passant par $M_0$ et perpendiculaire au rayon $[\Omega M_0]$.
Vecteur normal de la tangente
Le vecteur $\overrightarrow{\Omega M_0}$ est un vecteur normal à la tangente en $M_0$.
Si $\Omega(a ; b)$ et $M_0(x_0 ; y_0)$, alors $\overrightarrow{\Omega M_0}(x_0 - a ; y_0 - b)$ et la tangente a pour équation :
$$(x_0 - a)(x - x_0) + (y_0 - b)(y - y_0) = 0$$
Exemple
Tangente au cercle $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 10$ au point $M_0(5 ; 2)$.
$\overrightarrow{\Omega M_0}(3 ; 1)$, donc la tangente est :
$$3(x - 5) + 1(y - 2) = 0 \iff 3x + y - 17 = 0$$
Intersection cercle-droite
Pour trouver les points d'intersection d'un cercle et d'une droite :
- Exprimer $y$ en fonction de $x$ (ou $x$ en fonction de $y$) à partir de l'équation de la droite.
- Substituer dans l'équation du cercle pour obtenir une équation du second degré.
- Analyser le discriminant :
- $\Delta > 0$ : deux points d'intersection (la droite est sécante).
- $\Delta = 0$ : un point d'intersection (la droite est tangente).
- $\Delta < 0$ : aucune intersection (la droite est extérieure).
Exemple
Cercle $x^2 + y^2 = 25$ et droite $y = x + 1$.
$$x^2 + (x+1)^2 = 25 \iff 2x^2 + 2x + 1 - 25 = 0 \iff 2x^2 + 2x - 24 = 0 \iff x^2 + x - 12 = 0$$
$$\Delta = 1 + 48 = 49 > 0$$
$$x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3, \qquad x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4$$
Points d'intersection : $(3 ; 4)$ et $(-4 ; -3)$.
À retenir
- Cercle de centre $\Omega(a;b)$, rayon $r$ : $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.
- Forme développée : $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ → compléter le carré.
- Cercle de diamètre $[AB]$ : $(x-x_A)(x-x_B) + (y-y_A)(y-y_B) = 0$.
- Tangente en $M_0$ : perpendiculaire au rayon, vecteur normal $\overrightarrow{\Omega M_0}$.
- Intersection cercle-droite : substitution → second degré → discriminant.