Équation de cercle

Introduction

Après les droites, le cercle est la deuxième figure fondamentale de la géométrie repérée. Son équation cartésienne permet de résoudre de nombreux problèmes : appartenance d'un point, intersection cercle-droite, tangente, etc.

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Équation cartésienne d'un cercle

Définition

Le cercle de centre $$(5-2)^2 + (1+3)^2 = 9 + 16 = 25 \quad \checkmark$$7 et de rayon $$(5-2)^2 + (1+3)^2 = 9 + 16 = 25 \quad \checkmark$$8 est l'ensemble des points $$(5-2)^2 + (1+3)^2 = 9 + 16 = 25 \quad \checkmark$$9 tels que $$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2$$0, soit :

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

C'est l'équation cartésienne du cercle.

Exemples

• Cercle de centre $$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2$$1 et de rayon 1 (cercle unité) : $$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2$$2.
• Cercle de centre $$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2$$3 et de rayon 5 : $$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2$$4.

Vérifier qu'un point appartient à un cercle

Le point $$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2$$5 appartient-il au cercle $$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2$$6 ?

$$(5-2)^2 + (1+3)^2 = 9 + 16 = 25 \quad \checkmark$$

Oui, $$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2$$7 appartient au cercle.

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Forme développée

En développant l'équation $$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2$$8 :

$$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2$$

$$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0$$

On obtient la forme développée :

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$

avec $$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2$$9, $$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0$$0, $$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0$$1.

Réciproquement

À partir de $$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0$$2, on retrouve le centre et le rayon en complétant le carré :

$$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$$

• Centre : $$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0$$3.
• Rayon : $$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0$$4 (à condition que $$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0$$5).

Exemple complet

Identifier le cercle $$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0$$6.

$$\left(x^2 - 6x + 9\right) + \left(y^2 + 4y + 4\right) = 12 + 9 + 4$$

$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

Centre $$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0$$7, rayon $$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0$$8.

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Cercle de diamètre $$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0$$9

Théorème

Le cercle de diamètre $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$0 est l'ensemble des points $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$1 tels que $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$2.

C'est une conséquence directe du théorème de Thalès dans le cercle : l'angle inscrit dans un demi-cercle est droit.

Démonstration

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$3 est sur le cercle de diamètre $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$4 $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$5 $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$6 $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$7 $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$8 $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$9 $$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$$0.

Équation

Si $$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$$1 et $$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$$2, le cercle de diamètre $$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$$3 a pour équation :

$$(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0$$

Exemple : Cercle de diamètre $$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$$4 avec $$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$$5 et $$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$$6 :

$$(x-1)(x-5) + (y-3)(y+1) = 0$$

$$(5-2)^2 + (1+3)^2 = 9 + 16 = 25 \quad \checkmark$$0

$$(5-2)^2 + (1+3)^2 = 9 + 16 = 25 \quad \checkmark$$1

Centre : milieu de $$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$$7 soit $$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$$8, rayon : $$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$$9.

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Tangente à un cercle

Propriété

La tangente au cercle $$\left(x^2 - 6x + 9\right) + \left(y^2 + 4y + 4\right) = 12 + 9 + 4$$0 de centre $$\left(x^2 - 6x + 9\right) + \left(y^2 + 4y + 4\right) = 12 + 9 + 4$$1 en un point $$\left(x^2 - 6x + 9\right) + \left(y^2 + 4y + 4\right) = 12 + 9 + 4$$2 du cercle est la droite passant par $$\left(x^2 - 6x + 9\right) + \left(y^2 + 4y + 4\right) = 12 + 9 + 4$$3 et perpendiculaire au rayon $$\left(x^2 - 6x + 9\right) + \left(y^2 + 4y + 4\right) = 12 + 9 + 4$$4.

Vecteur normal de la tangente

Le vecteur $$\left(x^2 - 6x + 9\right) + \left(y^2 + 4y + 4\right) = 12 + 9 + 4$$5 est un vecteur normal à la tangente en $$\left(x^2 - 6x + 9\right) + \left(y^2 + 4y + 4\right) = 12 + 9 + 4$$6.

Si $$\left(x^2 - 6x + 9\right) + \left(y^2 + 4y + 4\right) = 12 + 9 + 4$$7 et $$\left(x^2 - 6x + 9\right) + \left(y^2 + 4y + 4\right) = 12 + 9 + 4$$8, alors $$\left(x^2 - 6x + 9\right) + \left(y^2 + 4y + 4\right) = 12 + 9 + 4$$9 et la tangente a pour équation :

$$(5-2)^2 + (1+3)^2 = 9 + 16 = 25 \quad \checkmark$$2

Exemple

Tangente au cercle $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$0 au point $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$1.

$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$2, donc la tangente est :

$$(5-2)^2 + (1+3)^2 = 9 + 16 = 25 \quad \checkmark$$3

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Intersection cercle-droite

Pour trouver les points d'intersection d'un cercle et d'une droite :

1. Exprimer $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$3 en fonction de $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$4 (ou $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$5 en fonction de $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$6) à partir de l'équation de la droite.
2. Substituer dans l'équation du cercle pour obtenir une équation du second degré.
3. Analyser le discriminant :
4. $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$7 : deux points d'intersection (la droite est sécante).
5. $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$8 : un point d'intersection (la droite est tangente).
6. $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$9 : aucune intersection (la droite est extérieure).

Exemple

Cercle $$(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0$$0 et droite $$(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0$$1.

$$(5-2)^2 + (1+3)^2 = 9 + 16 = 25 \quad \checkmark$$4

$$(5-2)^2 + (1+3)^2 = 9 + 16 = 25 \quad \checkmark$$5

$$(5-2)^2 + (1+3)^2 = 9 + 16 = 25 \quad \checkmark$$6

Points d'intersection : $$(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0$$2 et $$(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0$$3.

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À retenir

• Cercle de centre $$(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0$$4, rayon $$(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0$$5 : $$(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0$$6.
• Forme développée : $$(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0$$7 → compléter le carré.
• Cercle de diamètre $$(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0$$8 : $$(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0$$9.
• Tangente en $$(x-1)(x-5) + (y-3)(y+1) = 0$$0 : perpendiculaire au rayon, vecteur normal $$(x-1)(x-5) + (y-3)(y+1) = 0$$1.
• Intersection cercle-droite : substitution → second degré → discriminant.